【数学】广东省名校联盟（珠海一中中山纪中）2019-2020学年高二9月联考试题
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高二9月联考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2．下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（ ）
A. B. C. D.
3．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
① ②
③ ④
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．②④ C．①④ D．①③
4．已知下表所表示数据的回归直线方程为，则实数的值为（ ）。
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
8 | 11 | 18 | 28 |
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
5．若斜率都存在的两直线：与互相垂直，
则实数的值为（ ）
A．2 B．-1 C．2或－1 D．1或-1
6．总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
A. 43 B. 14 C.07 D. 02
7．已知函数，则等于（ ）
A. B. C. D.
8．设P是△ABC所在平面内的一点满足，则（ ）
A. B. C. D.
9．函数是区间上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．
10．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：从区间内随机抽取400个数，构成200个数对，其中满足不等式的数对共有21个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为
A． B. C． D．
11．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间单调递增；
③在有4个零点； ④的最大值为2。其中说法错误的是（ ）
A．①②④ B．②③ C．①④ D．①③
12．已知函数，则下列关于函数的零点说法正确的是（ ）。
A．当时，有4个零点；当时，有2个零点
B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点
C．无论为何值，均有3个零点
D．无论为何值，均有4个零点
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．求值_______。
14．圆上到直线的距离为1的点的个数为________。
15．一个正四棱锥的五个顶点都在半径为2的球面上，且该四棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该正四棱锥的体积是________。
16．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，。若对于任意的都有成立，则实数的取值范围是________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）已知非零向量满足，。
（1）求向量与夹角的大小；
（2）若，求的最小值及此时的值。
18(本题满分12分)某校高二年级开学伊始为了解学生暑期的学习情况,组织一次水平测试，全年级1600位学生都参加了测试。为了解学生的数学水平，对这次考试成绩进行了抽样分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这次水平测试中数学成绩的平均分和中位数（结果精确到十分位）；
(2)估计全年级数学成绩不低于80分的学生人数；
(3)在样本中,从数学成绩不低于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率。
19（本题满分12分）已知向量，记函数。
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得函数为奇函数，求的最小值。
20（本题满分12分）已知在直三棱柱中。其中分别为的中点 。
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求直线与平面所成角的正弦值。
21（本题满分12分）已知圆，直线。直线交圆于两点。
（1）求中点的轨迹方程；
（2）在轴正半轴上是否存在定点,使得与关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在说明理。
22（本题满分12分）已知函数。
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）若对任意，存在，使成立，试求实数的取值范围。
参考答案
一、 选择题
1.D 2.A 3.C 4. C 5. B 6. A
7.B 8.D 9.B 10.D 11. B 12.A
二、填空题
13. ； 14. ； 15. ； 16. .
三、解答题
17.解：（1）
………………………………5分
（2）
……………………………………10分
18.（1）由频率分布直方图知，第五组的频率=1-（0.0052+0.015+0.020+0.045）10=0.10
……………………1分
所以，估计这次水平测试中数学的平均成绩=0.0545+0.1555+0.4565+
0.2075+0.1085+0.0595=68分 ……………………3分
因为前三组的频率之和=0.05+0.15+0.45=0.65 所以0.65-0.50=0.15
所以，估计这次水平测试中数学成绩的中位数=70-10
…………………………5分
（2）因为样本中不低于80分的学生人数比=0.10+0.05=0.15
所以，估计全年级数学成绩不低于80分的学生人数=16000.15=240………8分
（3）记至少有1名学生的成绩在区间内为事件M.
样本中数学成绩不低于80分的学生人数=400.15=6 ，成绩在区间内的人数=400.05=2
记这六人人别是A、B、C、D、E、F，其中E、F的成绩在区间内，则基本事件有：AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF共计15个，事件M包含的基本事件有：AE AF BE BF CE CF DE DF EF共计9个
所以 ………………………………12分
19.解：（1）
由得
所以函数的单调递增区间为………………6分
（2）函数的图像向左平移个单位后所得函数的解析式为
………………………………………………12分
20解：（1）分别为的中点。
…………………………………………3分
（2）
…………………………………………7分
（3）过.
…………………………………………12分
21解：（1）设与交于点。设
………………………………5分
（2）假设存在点符合题意，设。
………………………………12分
22解：（1）当时，.
……………………………………3分
（2）
…………………………………………7分
(3) 对任意，存在，使成立
…………………………………………12分
