【数学】广西省贵港市覃塘高级中学2018-2019学年高二上学期12月月考（文） 试卷
展开广西省贵港市覃塘高级中学2018-2019学年
高二上学期12月月考（文）
试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题（选择题和客观题），学生自已保存，Ⅱ卷一般为答题卷，考试结束只交Ⅱ卷。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的焦点坐标是( )
A． B． C． D．
2．已知函数，则( )
A． B． C． D．
3． “a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.若点为椭圆上一点，则（ ）
A． B． C． D．
5.函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2
7.双曲线的焦距为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
8．曲线在处的切线方程为( )
A． B． C． D．
9．已知命题；命题，，则下列命题为真命题的是( )
A． B． C． D．
10．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题“，”的否定是 ．
14.若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是__________．
15.设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点为，则的离心率为 ．
16.已知函数的极大值为正，极小值为负，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
18.（本小题满分12分）设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足
.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
(2)￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）.设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
20．（本小题满分12分）已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
21.（本小题满分12分）已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为. (1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x2＋ax－2a2lnx(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题。
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | D | A | D | A | B | C | B | C | B | A | D |
二、填空题。
13、，
14、[3，＋∞)
15、
16、
三、解答题。
17、【答案】(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∴实数a的取值范围为[，＋∞)．
(2)∵对∀x∈R，p(x)是真命题，∴对∀x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，则∴a>1.
18、【解析】由x2－4ax＋3a2＜0，a＞0得a＜x＜3a，即p为真命题时，a＜x＜3a，
由得,即2＜x≤3，即q为真命题时2＜x≤3.
(1)a＝1时，p：1＜x＜3，
由p∧q为真知p、q均为真命题，则,得2＜x＜3，
所以实数x的取值范围为(2,3)．
(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，由题意知p是q的必要不充分条件，
所以BA，有,∴1＜a≤2，
所以实数a的取值范围为(1,2]．
19、【解析】(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，
所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f′(x)<0，解得－1<x<3.
故当x∈(－∞，－1)和x∈(3，＋∞)时，f(x)是增函数，
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
20、【答案】由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B (x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知．
|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.
所以点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.
所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
21、解 (1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为(，)．
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－＝－(x－)，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或．
21、【答案】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x＋a－＝＝.
①当a<0时，在(0，－2a)上f′(x)<0，在(－2a，＋∞)上f′(x)>0.
因此f(x)在(0，－2a)上递减，在(－2a，＋∞)上递增．
②当a>0时，在(0，a)上f′(x)<0，在(a，＋∞)上f′(x)>0.
因此f(x)在(0，a)上递减，在(a，＋∞)上递增．
(2)由(1)知，a<0时，
f(x)min＝f(－2a)＝2a2－2a2－2a2ln(－2a)
＝－2a2ln(－2a)，
由f(x)> 0得ln(－2a)<0⇒0<－2a<1⇒－<a<0；
当a>0时，f(x)min＝f(a)＝a2＋a2－2a2lna＝a2－2a2lna，
由f(x)>0得a2－2a2lna>0⇒lna<⇒0<a<，
综上，a∈(－，0)∪(0，)．
