【数学】广西省贵港市覃塘高级中学2018-2019学年高二上学期12月月考（理） 试卷
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高二上学期12月月考（理）
试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题（选择题和客观题），学生自已保存，Ⅱ卷一般为答题卷，考试结束只交Ⅱ卷。
一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1、 下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
2、 若向量，，则（ ）
A. B. C. 3 D.
3、已知两点，，点为坐标平面内的动点，且满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4、一质点做直线运动，其位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间
关系式为，则其瞬时速度为1米/秒的时刻为（ ）
A.t=0 B. t=1 C. t=3 D.t=1和t=3
5、若点为椭圆上一点，则（ ）
A． B． C． D．
.6、已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
7、已知，为的导函数，则的图像是（ ）
8、在下列四个命题中，
①若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；
②若，则；
③“”是“”的必要不充分条件；
④若“或”为真命题，“且”为假命题，则为真命题，为假命题．
正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9、如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A． B． C． D．
10、若在上是减函数，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
11、已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
12、函数的定义域是, 是它的导函数,且在定义域内恒成立，（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13、命题“，”的否定是 ．
14、19．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为__________．
15、 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
16、已知函数在上有两个零点，则的取值范围是___________
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17（本小题满分10分）.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
(2)￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18（本小题满分12分）.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，E、F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题：
(1) 求证：EF⊥B1C.
(2) (2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值．
19（本小题满分12分）已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
20（本小题满分12分）.在几何体ABC－A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1＝BB1＝4，AB＝BC＝CC1＝2，E为AB1的中点．
(1)求证：CE∥平面A1B1C1；
(2)求二面角B1－AC1－C的大小．
21（本小题满分12分）已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为..(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝－x2＋3x－，g(x)＝x－(m＋1)lnx－，m∈R.
(1)求函数g(x)的极值；
(2)若对任意x1，x2∈[1，e]，f(x1)－g(x2)≤1恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | D | C | D | D | C | A | A | B | B | C | B |
二、填空题
13、，
14、
15、
16
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、【解析】由x2－4ax＋3a2＜0，a＞0得a＜x＜3a，即p为真命题时，a＜x＜3a，
由得,即2＜x≤3，即q为真命题时2＜x≤3.
(1)a＝1时，p：1＜x＜3，
由p∧q为真知p、q均为真命题，则,得2＜x＜3，
所以实数x的取值范围为(2,3)．
(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，由题意知p是q的必要不充分条件，
所以BA，有,∴1＜a≤2，
所以实数a的取值范围为(1,2]．
18、【答案】(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，E，B1(1,1,1)，G，
∴＝－＝，＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，
∴＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C；
(2)＝－(0,1,1)＝，∴||＝，
又∵||＝，＝×0＋×＋×(－1)＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
故异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
19、【答案】由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知．
|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.
所以点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.
所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
20、【答案】因为点B1在平面ABC内的正投影为B，所以B1B⊥BA，B1B⊥BC，
又AB⊥BC，如图建立空间直角坐标系Bxyz，
B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，E(1,0,2)，
(1)设平面A1B1C1的法向量n1＝(x，y，z)，＝(－2,0,0)，＝(0,2，－2)，
即取y＝1，得n1＝(0,1,1)，
又＝(1，－2,2)，因为·n1＝0×1＋1×(－2)＋2×1＝0，
所以⊥n1，所以CE∥平面A1B1C1；
(2)设平面AB1C1的法向量n2＝(x，y，z)，＝(2,0，－4)，＝(0,2，－2)，
即取y＝1，得n2＝(2,1,1)，
同理，平面ACC1的法向量n3＝(1,1,0)，
所以cos〈n2，n3〉＝＝，
由图知，二面角B1－AC1－C的平面角是钝角，
所以二面角B1－AC1－C的平面角是π.
21、解 (1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为(，)．
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－＝－(x－)，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或．
22、【答案】(1)g′(x)＝(x>0)，
①当m≤0时，g(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，
g(x)极小值＝g(1)＝1－m，无极大值．
②当0<m<1时，g(x)在区间(0，m)上是增函数，在区间(m,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，
g(x)极大值＝g(m)＝m－(m＋1)lnm－1，g(x)极小值＝g(1)＝1－m.
③当m＝1时，g(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
∴g(x)无极值．
④当m>1时，g(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(1，m)上是减函数，在区间(m，＋∞)上是增函数，
g(x)极小值＝g(m)＝m－(m＋1)lnm－1，g(x)极大值＝g(1)＝1－m.
(2)∵f(x)＝－(x－)2＋2，∴f(x)max＝f()＝2.
由题意，当x∈[1，e]时，f(x)max－g(x)min≤1，即g(x)min≥1.
①当m≤1时，g(x)min＝g(1)＝1－m，∵1－m≥1，
∴m≤0.
②当1<m<e时，g(x)min＝g(m)＝m－(m＋1)lnm－1，
令F(m)＝m－(m＋1)lnm－1(1<m<e)，则F′(m)＝－lnm－<0，
∴F(m)是减函数，F(m)<F(1)＝0，∴g(m)<0，不合题意．
③当m≥e时，g(x)min＝g(e)＝e－ (m＋1)－，
∵e－(m＋1)－≥1，
∴m≤，这与m≥e矛盾，舍去．
综上，m的取值范围是(－∞，0]．
