【数学】福建省泰宁第一中学2019-2020学年高二上学期第一阶段考试试题

福建省泰宁第一中学2019-2020学年高二上学期第一阶段考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间：120分钟  总分：150分注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线的准线方程为（      ）.           .           .           .2．已知向量，，且//，则实数（      ）.                  .               .           .3．下列命题错误的是（       ）.“若，则”的否命题为“若，则”.若为假命题，则均为假命题；.命题“，”的否定为“，”.命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则”； 抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为(    )A.      B.     C.        D. 或5．“”是“椭圆焦距为”的（   ）.充分不必要条件  .必要不充分条件    .充要条件  .既不充分也不必要条件6．在空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点．若，，，则等于（      ）.  .  .  .7． 已知双曲线C: 的离心率为，则的渐近线方程为（ ）A.     B.     C.     D. 8．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点，则异面直线与所成的角为（　  ）.120°          .90°       .60°    .30°9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2 ，点P在椭圆上，则的最大值是（　  ）A．         B．4           C.          D．210．如图，在二面角α﹣l﹣β的棱l上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α﹣l﹣β的大小为，AB=AC=2，BD=3，则CD=（　　）    A．            B．   C．    D．11．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（   ）12．已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率是（   ）A．  B．  C．2 D．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．双曲线的焦距长为_______． 14．命题“”是假命题，则实数a的取值范围为_________15．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为      16．在正方体中，若棱长为，点、分别为线段、上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________①面；                    ②面面；③点到面的距离为定值；     ④线与面所成角的正弦值为定值.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知命题无实数解，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.（Ⅰ）若命题为假命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题“或”为真，命题“且”为假，求实数的取值范围.      18．(本小题满分12分)已知双曲线 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；（Ⅱ）设直线l经过点（0，﹣1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．    19．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中,为等腰直角三角形,,且,分别为、、的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．  20．（本小题满分12分）已知点满足,设点M的轨迹是曲线C．Ⅰ求曲线C的方程．Ⅱ过点且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求（O为坐标原点）的面积 21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．    22.（本小题满分12分）已知椭圆：的左焦点为,过点做轴的垂线交椭圆于两点,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)若为椭圆短轴的上顶点，直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，问：直线是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由.  
参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ABBCACCBBADC二、填空题（每小题5分，共20分）13、   4    14、              15、              16、①②③三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17、解： （Ⅰ）命题：，得  ……………………………2分依题意得为真命题……………………………………………………………………3分所以，的取值范围为 …………………………………………………………4分（Ⅱ）命题：，得  ………………………………6分依题意得p与q必然一真一假…………………………………………………………7分若真假，则，得或   …………………8分若假真，则，此时无解    ……………………………………9分所以，实数的取值范围为 …………………………………………10分18【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：由已知，双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0）…据定义有：…故a2=1，c2=4，b2=3，从而所求双曲线C的方程为．…其渐近线方程为：…法二：由，故所求双曲线C的方程为…其渐近线方程为：…（Ⅱ）由得：（3﹣k2）x2+2kx﹣4=0…当3﹣k2≠0，即时，…若△＞0，即△=4k2﹣4（﹣4）（3﹣k2）=12（4﹣k2）＞0⇒4﹣k2＞0⇒﹣2＜k＜2时，直线与双曲线相交，有两个公共点；…所以，当﹣2＜k＜2，且时，直线与双曲线有两个公共点19、解: （Ⅰ）方法一：设的中点为，连接，则,∴四边形为平行四边形…………………………………………………………2分∴………………………………………………………………………………4分又, ∴面． ……………………………6分法二：以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系令，则, …2分，面的一个法向量为 ……………………………3分∵，∴   ………………………………………………………5分又∵，∴∥平面．…………………………………    ……6分（Ⅱ）,,∴   ∴ , ∵ ∴面 ∴平面的一个法向量为…………………………………………8分 设平面的法向量为，则由，即.令，则  …………………………………………9分 ……………………………………………………11分 ∴锐二面角的余弦值为 ……………………………………………12分20.（12分）解：由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线∴   ∴所以曲线的方程为                         ……………………5分
(2)联立  得    ………7分                    ……………9分         ………12分21.【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠ABC=45°，所以∠ACB=45°，故AB⊥AC． …由E、F分别为BC、AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC…因为PA⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF． …又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，…所以EF⊥平面PAC．  …（向量法参照给分，建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分）（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0）．所以，，…由已知，，故，所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，…设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），由，得令x=1，得=（1，1，1）．…所以=，…化简得4λ2+4λ﹣3=0，…故或（舍）…22.【答案】（1）（2）过定点（2，-1）【详解】解：(1)由题意可知，令，代入椭圆可得，         又，两式联立解得：，    ；(2)①当斜率不存在时，设，，得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意.②当斜率存在时，设，，联立，整理得， ， ， ，，此时，存在使得成立．∴直线的方程为，即，当，时，上式恒成立，所以过定点．