【数学】贵州省遵义市南白中学2018-2019学年高二上学期第一次月考（理） 试卷

贵州省遵义市南白中学2018-2019学年

高二上学期第一次月考（理）

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码中“准考证号、姓名、考生科目”与本人准考证号、姓名是否一致.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则(   )

A．    B．    

C．    D．

2．经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，贵州省黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是(   )

A．旅游总人数逐年增加

B． 2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和

C． 年份数与旅游总人数成正相关

D． 从2014年起旅游总人数增长加快

3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(   )

A．            B．                 C．                D．

4．已知向量，，，若，则等于(   )

A．         B．2             C．              D．1

5．圆：与圆：的位置关系是 (   )

A．相交       B．外切            C．内切           D．相离

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是(   )

A. 2           B. 3          C. 4            D. 5

7．是两个平面，是两条直线，则下列命题中错误的是(   )

A. 如果，那么  

B. 如果，那么

C. 如果，那么

D. 如果，那么

8．设，函数图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是(   )

A． B． C．3 D．

9．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作，它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，求得该垛果子的总数为(   )

A．120           B． 84               C．56              D．28

10．已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则(   )

A．       B．       C．       D．

11．设， ， ，则的最小值为(   )

A．       B．      C．       D．

12．如图，已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，F为棱上的点，且满足，点F、B、E、G、H为面MBN过三点B、E、F的截面与正方体在棱上的交点，则下列说法错误的是 (   )

A．HF//BE                B．

C．∠MBN的余弦值为  D．五边形FBEGH的面积为

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知，则          ．  

14．设变量，满足约束条件，则的最小值为          ．   

15．已知数列满足：，数列的前项和为，则          ． 

16．正四面体内切球半径与外接球半径之比为          ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知数列的前项和为，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

中，角，，的对边分别为，，，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若为边上的中线，，，求的面积．

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱中，四边形四边均相等，点在面的射影为中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，，，求点到面的距离．

20.（本小题满分12分）

张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如下表：

（Ⅰ）求身高关于年龄的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

21．（本小题满分12分） 

如图，四边形是平行四边形，平面⊥平面，，，，，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；

（Ⅲ）求二面角的正弦值.

22．（本小题满分12分）

已知过原点的动直线与圆：相交于不同的两点．

（Ⅰ）求圆C1的圆心坐标和半径；

（Ⅱ）求线段的中点的轨迹C的方程；

（Ⅲ）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

参考答案

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1-5、ABBCB    6-10、CDDBC   11-12、AC

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.   14.   15.  16.   

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分

解：（Ⅰ），，

则，   

即 ，   

∴数列的通项公式为.   （5分）

（Ⅱ），

∵, ∴数列是公比为4的等比数列，

，∴数列的前n项和.（10分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），由正弦定理，得，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，∴．又∵，∴．（6分）

（Ⅱ）在中，由余弦定理得，∴…①，在中，由正弦定理得，由已知得，∴，∴……②，由①，②解得，∴．（12分）

19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明 连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．

因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1．

又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO．

由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB．（6分）

（Ⅱ）法一：解 在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD．

在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H．

由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC．

又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC．

因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．

又BC＝1，可得．由于AC⊥AB1，所以．

由OH·AD＝OD·OA，且，得．

所以点到面的距离．（12分）

法二：（等体积法）（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得，．（2分）

，（4分）

（6分）

所以，（7分）

，所求回归方程为．（8分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6．5cm．

将代入（Ⅰ）中的回归方程，得，

故预测张三同学15岁的身高为173．5cm．（12分）

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，在中，

因为是的中点，所以且，

又因为，所以且，

即四边形是平行四边形，所以，（3分）

又平面，平面，

所以平面.（4分）

（Ⅱ）在中，，由余弦定理可，

进而可得，即，

又因为平面平面平面；平面平面，

所以平面.

又因为平面，

所以平面平面.

因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.（6分）

过点作于点，连接，

又因为平面平面，

所以平面，

所以直线与平面所成角即为.

在中，，由余弦定理可得，

所以，因此，

在中，，

所以直线与平面所成角的余弦值为．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，二面角为，而

所以二面角的正弦值（12分）

22.（本小题满分12分）

解：

(Ⅰ)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.

∴圆C1的圆心坐标为(3，0)，半径为2．（2分）

(Ⅱ)设动直线l的方程为y＝kx，A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，

联立⇒(k2＋1)x2－6x＋5＝0，

则Δ＝36－4(k2＋1)×5>0⇒k2<.

则x1＋x2＝.（6分）

所以．（5分）

⇒AB中点M的轨迹C的方程为

消去k

得轨迹C的方程为＋y2＝，<x≤3.（7分）

（Ⅲ）联立得

由得，结合轨迹的图像知满足题意。

另外由轨迹的图像的端点与点的斜率及其变化情况知，当时，直线与曲线C只有一个交点，故的取值范围为。（12分）