【数学】福建省漳平市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试题

福建省漳平市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试题第I卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知的取值如下表所示,若与线性相关,且,则（   ）x0134y​A.  B.  C.  D. 随机调查某校50个学生的午餐费,结果如下表,这50个学生午餐费的平均值和方差分别是(    ) 餐费元345人数102020 A. 4,  B. 4,  C. ,  D. , 抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为(    )A.      B.      C.       D. 或一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都中靶”的对立事件是（　　）A. 至多有一次中靶 B. 至少有一次中靶
C. 只有一次中靶 D. 两次都不中连续掷两次骰子，先后得到的点数为点的坐标，那么点在圆内部的概率是A.  B.  C.  D. 在△ABC中，已知A（-4，0），B（4，0），且，则顶点C的轨迹方程是（　　）A.   B.   C.    D. 方程表示椭圆的必要不充分条件是（　　）A.  B.
C.  D. 与双曲线 有相同渐近线,且与椭圆 有共同焦点的双曲线方程是（   ）A.  B.  C.  D. 若直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值为(    )A.  B.
C. 或 D. 或或若椭圆与直线交于两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则(    )A.  B. C.  D. 2已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（   ）A.  B.  C.  D. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点P，若是线段的中点，则双曲线的离心率是     A.  B.         C.      D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）已知某大学大一500人，大二750人，大三850人．为了解该大学学生的身体健康状况，该大学负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若在大二学生中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是_________人．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为_____________.是双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 _______________．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点,,P是它们在第一象限的交点,且,则的最小值为                  .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.某中学高三年级从甲文、乙理两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试,他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示,其中甲组学生的平均分是85,乙组学生成绩的中位数是83．求x和y的值；计算甲组7位学生成绩的方差；(3从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲组至少有一名学生的概率．
18.某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分布情况，随机调查了100位到购物中心购物的顾客年龄，并整理后画出频率分布直方图如图所示，年龄落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（1）求顾客年龄值落在区间[75，85]内的频率；
（2）拟利用分层抽样从年龄在[55，65），[65，75）的顾客中选取6人召开一个座谈会，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率． 19.已知椭圆的焦距为2，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆上一点，且，求△F1PF2的面积．  20.已知点满足,设点M的轨迹是曲线C．Ⅰ求曲线C的方程．Ⅱ过点且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求（O为坐标原点）的面积    21.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆上，求m的值
22.已知点是椭圆C：上的一点，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；              （2）若分别为直线AB，AD的斜率，求证：为定值。           参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ACBACBBBCDCA二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.140      14.      15. 6       16.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分） 解：（1）∵甲班学生的平均分是85，
∴，∴x=5，…………………1分
乙班学生成绩的中位数是83，y=3；                            …………………2分
(2)甲班7位学生成绩的方差为s2==40；…5分
（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（B，C），（B，D），（B，E），
（C，D），（C，E），
（D，E）
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
甲班至少有一名学生”为事件M，则．                     答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．…10分
18.(12分)解：（1）设区间[75，85]内的频率为x，则 区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x和2x，依题意得（0.004+0.012+0.019+0.03）×10+4x+2x+x=1，解得x=0.05，
所以区间[75，85]内的频率为0.05；    …………5分
（2）根据题意得，需从年龄在[55，65），[65，75）中分别抽取4人和2人，
设在[55，65）的4人分别为a，b，c，d，在[65，75）的2人分别为m，n，
则所抽取的结果共有15种：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，n），
（b，c），（b，d），（b，m），（b，n），
（c，d），（c，m），（c，n），
（d，m），（d，n），（m，n）；
设“这两人在不同年龄组”为事件A，事件A包含的基本事件有8种：
（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），
（c，m），（c，n），（d，m），（d，n）；
则 ，
所以这两人在不同年龄组的概率为．……12分
19.（12分） 解：（Ⅰ）椭圆方程可设为
且c=1，又，得a=2，
∴b2=a2-c2=4-1=3，
∴椭圆的方程为……………6分
（Ⅱ）在△PF1F2中，由余弦定理可得：∠F1PF2，
即2|PF1||PF2|×cos60°，
∴4=16-3|PF1||PF2|，即|PF1||PF2|=4．
∴△F1PF2的面积S=|PF1||PF2|sin60°=．……………12分
20.（12分）解：由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线∴   ∴所以曲线的方程为        ……………5分
(2)联立  得     …………………7分      …………………………9分         ……………………12分21. 解：（1）由题意，，解得，c=．
∴．
∴双曲线C的方程为；        ………………6分
（2）由，得3x2-6mx-3m2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=2m，又中点在直线x-y+m=0上，
∴中点坐标为（m，2m），代入x2+y2=5得m=±1，满足判别式△＞0．
∴m的值为±1．             ……………………………12分
22.（12分） 解：（1）由题意，可得e==，代入A（1，）得，
又a2=b2+c2，解得a=2，b=c=，
所以椭圆C的方程．………………5分
（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，………………6分
又A、B、D三点不重合，∴m≠0，
设D（x1，y1），B（x2，y2），
则由得4x2+2mx+m2-4=0………………7分
所以△=-8m2+64＞0， 所以＜m＜．………8分
x1+x2=-m，………9分
设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，
则kAD+kAB=
=     ………11分
所以kAD+kAB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．………12分