【数学】甘肃省静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期第二次考试（理）（解析版）
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高二上学期第二次考试（理）
时间:150分钟 满分:150分
一、选择题(每小题5分,共12小题60分)
1、命题“若，则 ”的逆否命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2、容量为的样本的频率分布直方图，则样本数据落在内的频数为( )
- 12 B. 48 C. 60 D. 80
3、下列说法中正确的是（ ）
- “”是“”成立的充分不必要条件
- 命题，则
- 为了了解名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为.
- 已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为
.
4、从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事
件抽到三等品，且,，则事件“抽到的不
是一等品”的概率为( )
A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.3
5、程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6、已知线段的长度为，在线段上随机取一点，则到点、的距离都大于的概率为（ ）
A. | B. | C. | D. |
7、已知命题:直线与直线垂直，: 原点到直线的距离为，则（ ）
A.为假 | B.为真 | C.为真 | D.为真 |
8、已知、分别为椭圆的左、右焦点,倾斜角为的直线过点,且与椭圆交于,两点,则的周长为( )
A. | B. | C. | D. |
9、与双曲线共焦点，且过点的双曲线方程为（ ）
A. | B. | C. | D. |
10、若命题“”是真命题,则实数的取值范围是( )
A. | B. | C. | D. |
11、已知是椭圆上一点,是椭圆两个焦点,若,,则椭圆离心率为( )
A. | B. | C. | D. |
12、椭圆的左右焦点分别为,,点是椭圆上的一点,已知,则的面积为( )
A. | B. | C. | D. |
二、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13、以为渐近线且经过点的双曲线方程为__________.
14、如果椭圆的弦被平分,则这条弦所在的直线方程是__________.
15、已知.若是的充分条件，则实数的取值范围__________.
16、下列结论:
①“直线与平面平行”是“直线在平面外”的充分不必要条件;
②若,,则,;
③命题:“设,,若,则或”为真命题;
④“”是“函数在上单调递增”的充要条件.
其中所有正确结论的序号为__________.
三、解答题(共6小题,共70分)
17、（10分）某市准备引进优秀企业进行城市建设.城市的甲地、乙地分别对个企业(共个企业)进行综合评估,得分情况如茎叶图所示.
(1)根据茎叶图,求乙地对企业评估得分的平均值和方差;
(2)规定得分在分以上为优秀企业,若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取个,求这两个企业得分的差的绝对值不超过分的概率.(参考公式:样本数据的方差:,其中为样本平均数)
18、（12分）已知命题:,,命题:.
(1)若命题是真命题,求实数的取值范围;
(2)若是真命题,是假命题,求实数的取值范围.
19、（12分）为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
（1）求;
（2）若从高校抽取的人中选人做专题发言,求这人都来自高校的概率.
20、（12分）过原点O作圆的弦OA.
(1)求弦OA中点M的轨迹方程；
(2)延长OA到N，使，求N点的轨迹方程.
21、（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据
（1）请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
（2）已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤.试根据（1）求出的线性同归方程,预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(附: , ,其中为样本平均值)
22、（12分）已知椭圆的右焦点为,为短轴的一个端点且(其中为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)若、分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线、的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案
第1题答案C 第1题解析 命题“若，则 ”的逆否命题是“若，则”.故选C. |
第2题答案B 第2题解析 . |
第3题答案D 第3题解析 对于A，取， 时，不能推出，故错误；对于B，命题的否定为，故错误；对于C，为了了解名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则分组的组距为，故错误；对于D，因为回归直线的斜率的估计值为，所以回归直线方程可写成，根据回归直线方程过样本点的中心，则，所以回归直线方程为，故正确. |
第4题答案C 第4题解析 因为“抽到的不是一等品”与“抽到的是一等品”是对立事件，所以，故选C. |
第5题答案C 第5题解析 由程序框图可知:,;,;,;,. |
第6题答案B 第6题解析 由几何概型可知到点、的距离都大于的概率为............ |
第7题答案B 第7题解析 因为直线的斜率为，直线的斜率为，由于 ，所以两直线垂直，故为真命题， 因为原点到直线的距离，所以为真命题，所以为真.故选B. |
第8题答案D 第8题解析 椭圆,可得,的周长为,,所以的周长为, 由椭圆的定义,所以的周长为.
|
第9题答案D 第9题解析 由题意知：，设双曲线方程为，则，且，解得，，所以双曲线方程为. |
第10题答B 第10题解析 命题“”是真命题,则需满足,解得或. |
第11题答案B 第11题解析 在中,,,,根据余弦定理,,所以,,根据椭圆定义,则离心率. |
第12题答案C 第12题解析 ∵椭圆,∴,,, 由题意知①, ∵,∴②, ①②,可得, ∴,∴.故选C. |
第13题答案 第13题解析 以为渐近线的双曲线为等轴双曲线,方程可设为,代入点得,∴,∴. |
第14题答案 第14题解析 设弦的端点为,,代入椭圆方程,得①,②;①②得; 由中点坐标,,代入上式,得, ∴直线斜率为,所求弦的直线方程为:,即. |
第15题答案 第15题解析 ，即，即，所以:或，：或；而是的充分条件，所以解得，故答案为. |
第16题答案①③ 第16题解析 ①“直线与平面平行”可推得“直线在平面外”,反之,不成立,直线可能与平面相交,故“直线与平面平行”是“直线在平面外”的充分不必要条件,故①正确;②若,,则,,故②错误;③命题“设,,若,则或”的逆否命题为“设,,若且,则”,即为真命题,故③正确;④函数在上单调递增,可得在恒成立,即有,可得,“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件,故④错误. |
第17题答案见解析 第17题解析 (1)乙地对企业评估得分的平均值是,方差是. (2)从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取个,有,共组, 设“得分的差的绝对值不超过分”为事件,则事件包含有,共组,所以,所以得分的差的绝对值不超过分的概率是. |
第18题答案略 第18题解析 (1)命题是真命题时,在范围内恒成立,∴①当时,有恒成立; ②当时,有,解得:; ∴的取值范围为:. (2)∵是真命题,是假命题,∴,一真一假.由为真时得:,故有:①真假时,有得:;②假真时,有得:; ∴的取值范围为:. |
第19题答案见解析. 第19题解析 （1）.由题意可得,所以. （2）.记从高校抽取的人为,从高校抽取的人为,则从高校抽取的人中选人作专题发言的基本事件有，，，，，，，，，共种. 设选中的人都来自高校的事件为,则包含的基本事件有，，共三种. 因此,故选中的人都来自高校的概率为. |
第20题答案(1)； (2) 第20题解析 （1）设M点坐标为，那么A点坐标是， A点坐标满足圆的方程，所以， 化简得M点轨迹方程为． （2）设N点坐标为，那么A点坐标是（）， A点坐标满足圆的方程， 得到：， N点轨迹方程为：. |
第21题答案见解析. 第21题解析 （1）计算得: , 所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为: , 因此,所求的线性回归方程为. （2）由（1）的回归方程及技改前生产吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为: (吨标准煤). |
第22题答案略 第22题解析 (1)由已知:,∴,故所求椭圆方程为 (2)由(1)知,,.由题意可设,,则, 由整理得, 方程显然有两个解,由韦达定理:,得,, 所以,设,若存在满足题设的点,则,由, 整理,可得恒成立,所以.故存在定点满足题设要求.
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