【数学】甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二12月月考（理） 试卷
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说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的焦点坐标是( )
A.(0，1) B. (1，0) C．(，0) D． (0，)
2．若命题,，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C. , D. ,
3．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则( )
A．p∨q为假命题 B．q为假命题 C．q为真命题 D．(¬p)∧(¬q)为真命题
4．有下列三个命题:
①“若,则互为相反数”的逆命题;
②“若,则”的逆否命题;
③“若,则”的否命题.
其中真命题的个数是( ).
- 0 B. 1 C. 2 D. 3
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．曲线与的关系是( )
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对
7．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )
8．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 当双曲线的离心率取得最小值时，的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
11.过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（ 在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且离心率之积为1，为两曲线的一个交点，则的形状为（ ）
A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 不能确定
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
- 命题“若则”的逆否命题是______________.
14．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题，的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．
15.如果直线与曲线 有两个公共点, 那么的取值范围是
______________
16．设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为
，则的最小值为______________
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
求适合下列条件的双曲线的方程：
(1) 虚轴长为12，离心率为；
(2) 焦点在轴上，顶点间距离为6，渐近线方程为 .
18. (本小题满分12分)
已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足
，则的轨迹方程.
19. (本小题满分12分)
已知命题,,命题若命题是真命题,求实数的取值范围.
- (本小题满分12分)
已知实数满足,其中, 实数满足
(1)当时,若为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
- (本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的方程；
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
22.(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.
（1）若的坐标为，求的值；
（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.
参考答案
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的焦点坐标是( D )
A.(0，1) B. (1，0) C．(，0) D． (0，)
2．若命题,，则命题的否定是（ C ）
A．， B．，
C. , D. ,
3．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则( B )
A．p∨q为假命题 B．q为假命题 C．q为真命题 D．(¬p)∧(¬q)为真命题
4．有下列三个命题:
①“若,则互为相反数”的逆命题;
②“若,则”的逆否命题;
③“若,则”的否命题.
其中真命题的个数是( B ).
A.0 B.1 C.2 D.3
5．“”是“”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．曲线与的关系是( B )
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对
7．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( A )
8．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（ D ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
10. 当双曲线的离心率取得最小值时，的渐近线方程为（ A ）
A． B． C． D．
11.过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（ 在的上方），且与准线交于点，若，则 （ A ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且离心率之积为1，为两曲线的一个交点，则的形状为（ B ）
A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 不能确定
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
- 命题“若则”的逆否命题是 .
【答案】若，则
14．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题，的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
15.如果直线与曲线 有两个公共点, 那么的取值范围是 【答案】
16．设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为______________．【答案】-5
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
求适合下列条件的双曲线的方程：
(1) 虚轴长为12，离心率为；
(2) 焦点在轴上，顶点间距离为6，渐近线方程为
解 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ>0).
a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝；
∴双曲线的标准方程为－＝1
18. (本小题满分12分)
已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程.
解：由抛物线可得：
设
①
在上 ，将①代入可得：
，即 .
19. (本小题满分12分)
已知命题,,命题若命题是真命题,求实数的取值范围.
解：为真命题，，都为真命题.
命题为真命题，即当时，恒成立，.
命题为真命题，即方程有实根，，或.
综上，得或，即实数的取值范围为.
- (本小题满分12分)
已知实数满足,其中, 实数满足
(1)当时,若为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
解:（1）由，可得.
又，所以.
当时，，即为真命题时，.
由，解得，
所以为真命题时，.
若为真，则，可得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1），知，，
因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
则有,所以，解得，故实数的取值范围是.
- (本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的方程；
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
解：（1）由题意知，
又椭圆的离心率为，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）因为直线的方程为，设 ，
当时，设，显然，
联立，即,
又，即为线段的中点，
故直线的斜率，
又，所以直线的方程为
即，显然恒过定点，
当时，过点，综上所述，过点.
- (本小题满分12分)
已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.
（1）若的坐标为，求的值；
（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.
解：（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，
则抛物线的方程为.
设切线的方程为，代入得，
由得，
当时，的横坐标为，则，
当时，同理可得.
（2）由（1）知，，则以线段为直径的圆为圆，
根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，
因为为直线与圆的切点，所以，，所以，所以，
所以直线的方程为，代入得，
设，所以，
所以，
所以，
设，因为，所以，所以，
所以.
