【数学】四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二下学期开学考试（理）
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高二下学期开学考试（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题.（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．直线（为常数）的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．自2019年12月以来，湖北武汉爆发新冠肺炎后，全国人民急需大量口罩。我市某口罩厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种口罩，数量分别为件，件，件．为了解它们的口罩质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了件，则（ ）
A． B． C． D．
4．直线与平行，则的值等于( )
A． B． C． D．
5．若动点满足，则动点的轨迹是( )
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
6．与的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
7．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．若执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
9．椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．2
10.已知双曲线(，)的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
11．已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．长方体中，，，，为该正方体侧面内（含边界）的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题。（共4小题，每小题5分，共20分）．
13．函数在点处的切线方程为________．
14.某学生一学期的5次模拟考试中数学平均成绩70，物理平均成绩68.该班主任老师通过研究发现该学生的数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，现已知其线性回归方程为，则根据此线性回归方程预测该学生期末考试中数学成绩得90分时的物理成绩为________．
15.在区间上随意选择两个实数，，则满足的概率为_______.
16．若，为自然数，则下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序号是__________．
三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明及演算步骤．）
17．（本小题满分10分）已知：，：.
（1）若为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
- （本小题满分12分）2019年双“十一”结束后，某网站针对购物超过800元的购买者10000者进行调查，得到如下统计表：
（1）求的值；
（2）从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，再在这7人中随机取出2人，求取到的2人中年龄在、内各一人的概率.
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）已知经过点，，且圆心C在直线上，
（1）求的方程；
（2）设直线与相交于P、Q两点．为坐标原点，若，求实数的值.
21．（本小题满分12分）已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，，，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.
22．（本小题满分12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
参考答案
一、选择题.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
D | B | D | C | A | B | C | A | C | B | A | D |
二、填空题
13. 14. 75 15. 16. ①③.
三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明及演算步骤．）
17．（本小题满分10分）已知：，：.
（1）若为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
解析：（1）：，解得或．........................（2分）
故的取值范围为．..........................................................（4分）
（2）当真时，，记，
当为真时，，记．
因为是的充分不必要条件
所以是的充分不必要条件，所以..................................................（6分）
即，解得．.....................................................................（8分）
故实数的取值范围为．.......................................................................（10分）
- （本小题满分12分）2019年双“十一”结束后，某网站针对购物超过800元的购买者 10000人进行调查，得到如下统计表：
（1）求的值；
（2）从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，再在这7人中随机取出2人，求取到的2人中年龄在、内各一人的概率.
解析：（1）因为参与调查的总人数为10000人，
由表中数据可得，所以（人）.（3分）
（2）由（1）知年龄在的购物者由4000人，年龄在的购物者由2000人，年龄在的购物者由1000人，
从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，年龄在的购物者应抽取4人，用、、、表示，年龄在的购物者应抽取2人，用、表示.年龄在的购物者应抽取1人，用表示................6分
所以在这7人中随机取出2人所有可能的情况有：
共21种情况，.....................9分
其中取到的2人中在、内各一人有：
，共2种情况，........................................10分
由古典概型的计算公式，所求的概率为......................12分
19．（本小题满分12分）19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的正弦值.
【解析】（1）证明：记的中点为，连接，.
因为分别为的中点，
则，且.
因为，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，.....................3分
则.
又平面，平面，
所以平面.....................6分
（2）以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量，
则
令，则......................8分
设平面的法向量为，
则
令，则......................10分
，
设二面角为，则，
即二面角的正弦值为.......................12分
20.（本小题满分12分）已知经过点，，且圆心C在直线上，
（1）求的方程；
（2）设直线与相交于P、Q两点．为坐标原点，若，求实数的值；
解析：（1）设圆心，半径为．因为经过点，，
所以.....................................（2分）
即，...............................（4分）
解得，，
所以的方程是．..........................................（6分）
（2）设与的夹角为，则
.
所以，，..........................................（8分）
所以圆心到直线的距离，
又...............................（10分）
所以．......................................（12分）
21．（本小题满分12分）已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，，，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.
21.解：（1）设动圆半径为，由于在圆内，故圆与圆内切，
则，，∴，...............................（2分）
由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为4的椭圆，
，，，
∴轨迹的方程为.........................................（4分
（2）当或的斜率不存在时
四边形的面积，...........................（6分）
当两条直线的斜率都存在时，设的斜率为，则的斜率为，
则的方程为，的方程为，
联立方程组，得，
由韦达定理得.................（8分）
设，，则，
同理可得，
∴
，.....................（10分）
当且仅当，即时等号成立.
由于，因此当时，四边形的面积取得最小值为.......（12分）
另解一：
.
当即时等号成立..........................................................................（10分）
由于，因此当时，四边形的面积取得最小值为.......（12分）
22．（本小题满分12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【解析】：（1），.........................................（2分）
①当时，恒成立，∴的单调递增区间为.......（3分）
②当时，令，解得，
当时，；
当时，，..................................................................（4分）
∴的单调递减区间为，单调递增区间为...............（5分）
（2）当时，单调递增，，
∴有唯一零点，符合题意；...................................................................（6分）
当时，在处取得最小值，
（ⅰ）当，即时，，∴符合题意；.......（7分）
（ⅱ）当，即时，，
∵，且，
∴存在，使得，∴不符题意；.......（8分）
（ⅲ）当，即时，，
∵，
设，，则，
∴单调递增，即，∴，...................................（9分）
∵，............................................................................................................（10分）
∴存在，使得，∴不符题意；.........（11分）
综上，a的取值范围是.........................................................................（12分）
