【数学】四川省叙州区第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试（理）

四川省叙州区第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试（理） 满分150分，时间：120分钟.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题，，则(   )A．，     B． ，C．，  D．，2.若10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率是 (   )A.          B.         C.       D. 3.“”是“直线与直线互相垂直”的(   )A．充分不必要条件         B．必要不充分条件       C.充要条件         D．既不充分也不必要条件4.已知双曲线的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为 (   )A．         B．       C.         D．5.已知函数，在定义域内任取一点，使的概率是(   ) A．         B．       C.         D．6.已知实数满足不等式组，则的取值范围为 (   )A．         B．       C.         D．7.直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|2，则直线倾斜角的取值范围是(   )A．      B．     C．       D．8.已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为 (   )A．         B．       C.          D．9.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为(   )A．  B．  C．  D．10.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 (   )A.　　　　　　　 B．[学优高考网gkstk]C.　　　　　 D．11. 中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC，AB⊥BC，QA=BC=3，AC=5，则三棱锥Q-ABC外接球的表面积为(   )A.             B.           C.           D. 12．已知椭圆和，椭圆的左右焦点分别为、，过椭圆上一点和原点的直线交圆于、两点.若，则的值为(   )A．               B．                 C．             D．  第II卷（非选择题  共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．某次数学测验，12名同学分数的茎叶图如下：则这些分数的中位数是      。14．经过点（1，2）的抛物线的标准方程是                  。15.已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，则的最小值为          ．16.已知函数，若方程有且仅有3个不等实根，则实数的取值范围是          ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分） 已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．（1）当时，求的长；（2）当先被点平分时，写出直线的方程．  18. （本小题满分12分） 设命题，使；命题不等式，任意恒成立，若为真，且或为真，求的取值范围．  19. （本小题满分12分）已知过点作动直线与抛物线相交于，两点.（1）当直线的斜率是时，，求抛物线的方程；（2）设，的中点是，利用（1）中所求抛物线，试求点的轨迹方程. 20. （本小题满分12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.单价（万元）销量（件）（1）①求线性回归方程；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：）    21．（本小题满分12分）    如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．（1） 求证：∥；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．        22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的距离和它到定直线的距离之比是.（1）求动点P的轨迹的方程；（2）过作曲线的不垂直于轴的弦,为的中点,直线与交于两点,求四边形面积的最大值.                      参考答案一、一．选择题二、1-5：CBADC      6-10：DCCBD      11-12：DB]二、填空题13．80          14．     15.3           16.三、解答题17、解：⑴.当时，直线AB的方程为：设圆心到直线AB的距离为d，则∴      ………………………… 5分⑵.当弦AB被点P0平分时    OP0⊥AB∵    ∴故直线AB的方程为：    即 ……………10分18、由命题p：得或，    ……………………………………4分对于命题q：恒成立，所以                      或=0,                     ……………………………………………6分由题意知p为假命题，q为真命题．……………………………………………8分∴，∴a的取值范围为 …………………………12分19.解：设，，显然，，…………………………1分（1）由题意当直线的斜率为时，其方程为：，即，又∵，∴①，…………………………3分联立，消去得：，…………………………4分∴，且，，结合①式，可以解出，所以抛物线方程是：.…………………………6分（2）当直线垂直于轴时，其与抛物线只有一个公共点，不符题意，所以直线的方程可以设为：，设、中点，由，消去得：，即，…………7分由解得或，且，∴，…………………………8分∴，消去得点的轨迹方程：，由的取值范围可求出或.…………………………10分∴点的轨迹方程：（或）.…………………………12分20（1）①依题意：，…………………5分∴回归直线的方程为.…………………6分②由于，则负相关，故随定价的增加，销量不断降低.（2）设科研所所得利润为，设定价为，∴，…………………10分∴当时，.故当定价为元时，取得最大值.………12分21．（Ⅰ）证明：因为底面是菱形，所以∥．又因为面， 面，所以∥面．又因为四点共面，且平面平面，所以∥．  ………………5分  （Ⅱ）取中点，连接．因为，所以．又因为平面平面，且平面平面， 所以平面．所以．在菱形中，因为，     ，是中点，所以． 如图，建立空间直角坐标系．设，则，．…………7分又因为∥，点是棱中点，所以点是棱中点．所以，．所以，．……… ……………8分设平面的法向量为，则有所以 令，则平面的一个法向量为．……… ……………10分因为平面，所以是平面的一个法向量．因为， ……… ……………11分所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．  …………12分22.解：（1）由已知，得．两边平方，化简得＋y2＝1．故轨迹的方程是．…（3分）（2）因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.y1＋y2＝，y1y2＝. x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0，…....5分圆心与直线mx＋2y＝0的距离为，|PQ|…....7分设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.…....10分故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝令，则S＝（）当即时，.…....12分