【数学】云南省陆良县联办高级中学2019-2020学年高二下学期入学考试（文）
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高二下学期入学考试（文）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．根据中国生态环境部公布的2017年2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图
则下列说法错误的是（ ）
A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况
B．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质
C．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加
D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过
4.已知，，，则的大小关系为
5．圆与圆的公共弦长为( )
A． B． C． D．
6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出K的值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
7．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：
甲：我不跑第一棒和第二棒； 乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒； 丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；
王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求， 据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
- 下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则綈p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
9．已知等比数列的公比为正数，且，则公比（ ）
A． B． C． D．2
10．函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为（ ）
A．4 B．－2 C．4或－4 D．12或－2
12．过双曲线的右焦点作双曲线的一条弦AB，且=0，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量若，则与的夹角是 .
14.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是 ．
15.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
根据左表可得回归方程，其中=7，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为 万元；
16．如图，公路和在处交汇，且∠＝30°，在处有一所中学，＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为5m/s，那么学校受影响的时间为________s.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（共10分）
（1） 已知函数，解关于的不等式；
（2）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
18.（12分）已知等差数列的前项的和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求
19．（12分）已知是的内角，分别是角的对边.若,
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，为的中点，求.
20．（12分）某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；
（Ⅱ）写出该组数据的中位数（只写结果）．
（Ⅲ）从当天步数在[11，13），[13，15），[15，17）的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，
∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥PE；
（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．
22.(12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，.椭圆的长轴与焦距之比为，过的直线与交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当的斜率为时，求的面积；
（3）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.
参考答案
一、选择题 1-12、D C B D C B C D C A C A
二、填空题 13、 14、
15、 85 16、 24
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（共10分）
（1）已知函数，解关于的不等式；
解：（1）
（2）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解：（2）由已知得，解得
18.（12分）已知等差数列的前项的和为，.
(1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求
【答案】（1）； （2）；
【解析】（1）由题意得，∴．
设等差数列的公差为，则，
∴，∴．
（2）由（1）得，
∴．
19．（12分）已知是的内角，分别是角的对边.若,
（1）求角的大小； （2）若，的面积为，为的中点，求.
【解析】（1）因为
由正弦定理，得，即,
所以,又，则
（2）因为，所以.所以为等腰三角形，且顶角.
因为,所以.在中，，，，
所以 ,解得 .
20．（12分）某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；
（Ⅱ）写出该组数据的中位数（只写结果）．
（Ⅲ）从当天步数在[11，13），[13，15），[15，17）的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；
【解答】：（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[3，5）内的人数为0.02×2×1000=40；
健步走的步数在[5，7）内的人数为0.03×2×1000=60；
健步走的步数在[7，9）内的人数为0.05×2×1000=100；
健步走的步数在[9，11）内的人数为0.05×2×1000=100；40+60+100+100=300．
所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人．
21.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
（1）求证：DE∥平面PBC； （2）求证：AB⊥PE；
（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．
【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）连接PD，
∵DE∥BC，又∠ABC=90°，
∴DE⊥AB，
又PA=PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB，
又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，
∴AB⊥PE．
（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC，
22.(12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，.椭圆的长轴与焦距比为，过的直线与交于、两点.
（1）求椭圆的方程； （2）当的斜率为时，求的面积；
（3）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.
【解析】（1）依题意，因，又，得，
所以椭圆的方程为.
（2）设、，当时，直线：,将直线与椭圆方程联立，消去得，，解得，，，
所以 .
（3）设直线的斜率为，由题意可知，由，消去得，恒成立，，
设线段的中点，设线段的中点，则，
设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.
，整理得：， ，等号成立时.故当截距最小为时，，此时直线的方程为.
