【数学】四川省遂宁市射洪中学2019-2020学年高二下学期入学考试（理）
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高二下学期入学考试（理）
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．
A． B． C． D．
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
5．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布
A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．28尺
6．在的展开式中的系数是
A．－14 B．14 C．-28 D．28
7．如果双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线与直线x－y＋＝0平行，则双曲线的离心率为
A．3 B．2 C． D．
8．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则
A．-7 B．-9 C．-11 D．-13
9．若，则的最小值是
A． B． C． D．
10．由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为
A．6 B．4 C． D．
11．四棱锥的底面为正方形，底面，，，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
12．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设随机变量服从正态分布,若，则的值是______．
14．铁人中学欲将甲、乙、丙、丁四名大学毕业生安排到高一、高二、高三三个年级实习，每个年级至少一名毕业生，不同的分法有______种(结果用数字表示).
15．若，则______．
16．设随机变量的分布列为，0，1，2，…，，且，
则
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知函数，当时，取得极小值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.
18．（12分）从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，
由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．
（ⅰ）利用该正态分布，求；
（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．
附：．若，则，．
19．（12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
20．（12分）在直角坐标系中，已知圆与直线相切，点A为圆上一动点，轴于点N，且动点满足，设动点M的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设P，Q是曲线C上两动点，线段的中点为T，，的斜率分别为，且，求的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线分别与曲线，交于，两点（异于极点），求的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.
（Ⅰ）若不等式的解集，求实数的值.
（Ⅱ）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．C 9．A 10．D
11．B 12．D
13．1 14．36 15．0 16．8
17．(Ⅰ) , 因为x=1时，f(x)有极小值2， ,
所以 , 所以， 经检验符合题意.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当时，由，由，
所以上单调递减，在（1,2）上单调递增， 所以
又由，得.
18．（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
（2）（ⅰ）由（1）知，，
从而
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，
依题意知服从二项分布，所以
19．（Ⅰ）在图1中，因为，，是的中点，，
所以
即在图2中，，从而平面
又，所以平面．
（Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，
所以为二面角的平面角，所以．
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为，
所以
得，．
设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，
，得，取，从而，
即平面与平面夹角的余弦值为．
20．（1）设动点，由于轴于点N，
∴，又圆与直线相切，
∴，则圆.
由题意，，得，∴，
即，
又点A为圆上的动点，∴，即；
（2）当的斜率不存在时，设直线，
不妨取点，则，，∴.
当的斜率存在时，设直线，，
联立，可得.∴.
∵，∴.
∴
＝.化简得：，∴.
.
设，则.
∴∴.
综上，的取值范围是.
21．（1）因为，所以，当时，；当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）当时，，则，
当时，，令，则，所以在上单调递增，
因为，，所以存在，使得，即，即.
故当时，，此时；当时，，此时.
即在上单调递增，在上单调递减.
则 .
令，，则.
所以在上单调递增，所以，.故成立.
22．由两式相解得，；所以曲线的极坐标方程为的直角坐标方程为.
（2）联立得，联立得，故.
23．（1）∵函数，故不等式，即，
即，求得.再根据不等式的解集为.
可得，∴实数.
（2）在（1）的条件下，，
∴存在实数使成立，即，
由于，∴的最小值为2，∴，
故实数的取值范围是.
