【数学】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试（文）试题
展开云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年
高二下学期开学考试（文）试题
www.ks5u.com一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则复数z在复平面上的对应点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
3．“”是“两直线和互相垂直”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，现从中抽取一个容量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则（ ）
A．33 B．18 C．27 D．21
5．已知非零向量，满足，，则（ ）．
A．3 B． C．9 D．
6．在正项等比数列中，和为方程的两根，则 ( )
A．16 B．32 C．64 D．256
7．一只小虫在边长为的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ）
A． B． C． D．
（ ）
9．设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则
的面积等于（ ）
A． B． C．24 D．48
10.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积是（ ）
A. B． C． D．
11．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，
是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，函数是偶函数，且，当
时，，若函数恰好有个零点，则的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。）
13. 若实数，满足约束条件，则的最小值为______.
14. 曲线在点处的切线方程为 ________.
15.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_______．
16. 已知定义在R上的偶函数，其导函数为，当时，恒有
，若，则不等式的解集为______
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。）
17．（10分）在中，角，，所对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，求的最大值．
18．（12分）已知是数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
19.（12分）某同学在研究性学习中，收集到某工厂今年前5个月某种产品的产量(单位：万件)的数据如下表：
x(月份) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(产量) | 4 | 4 | 5 | 6 | 6 |
(1)若从这5组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据的概率；
(2)求出y关于x的线性回归方程，并估计今年6月份该种产品的产量．
参考公式：，.
20.（12分）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆O的直径长为2，点C在圆O所在平面内，且AC是圆O的切线，BC交圆O于点D，连接PD，OD.
（1）求证：PB⊥平面PAC；
（2）若，求点O到平面PBD的距离.
21.（12分）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
22．（12分）已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上．
求椭圆的方程；
直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程．
【参考答案】
一、选择题
1-5：D A B A C 6-10：C A B C B 11-12： C D
二、填空题
13．0 14．－2 15． 16．
三、解答题
17.（10分）解：（1），
即，
，即：.
因为，，所以．
由因为，所以．
（2）由余弦定理可知：，
整理得：.
又因为，所以.
化简得：，即：．∴的最大值为2．
18.（12分）解：（1）因为①，所以②，
②—①得：，即，
又，所以．，
令，则，
所以．
19.（12分）解： (1)设事件A为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，
所有的基本事件(其中m，n表示月份)有，，，，，，，，，，共10种，
其中事件A包含的基本事件有，，，，共4种，
∴.
(2) 由题意，可得，，
，，
所以，则，
所以回归直线的方程为，当时，.
故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件．
20.解：（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以.
又在圆锥中，垂直底面圆，所以，而，
所以平面，从而.
在三角形中，，所以，
又所以平面.
（2）因为，，，所以在直角中，
.又，则是等腰三角形，
所以，.
又，所以
设点到平面的距离为，由，即
，所以.
21.（12分）解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=，f ′（x）=．
当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥时，f（x）≥．
设g（x）=，则
当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当时，．
22.（12分）解：和是椭圆的两个焦点，
且点在椭圆上，，，故，
由可得.
椭圆的方程为：.
由，可得.
直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知，
整理得.
由条件可得，，，
，.
，，
当且仅当，即，时等号成立，的最小值为，
，，又，解得.
故此时直线的方程为或.
