【数学】云南省云天化中学2019-2020学年高二下学期开学考试（文）

云南省云天化中学2019-2020学年高二下学期开学考试（文）

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题:（每小题分,共分.每小题只有一个选项符合题意.）

1.在复平面内，复数对应的点到直线的距离是

A．           B．          C．        D．1

2.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是

A．方程没有实根        B．方程至多有一个实根

C．方程至多有两个实根  D．方程恰好有两个实根

3.在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是

A．3              B．        C．        D．

4.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是

A．         B．          C．        D．

5.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

A．56     B．60    

C．120        D．140

6.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为

A．          B．           C．          D．

 第II卷（非选择题）

二、填空题：（每小题分,共分.）

7.观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第个等式为                                 ．

8.等差数列的前项和为，，，则             ．

9.已知复数（是虚数单位），则．

10.记函数 的定义域为．在区间上随机取一个数，则 的概率是               ．

三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中第题分,每题分,

每题分共分.)

11题（本小题15分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网

箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg， 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0．01)

附：

12题（本小题15分）

如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

13题（本小题20分）

如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．

（Ⅰ）证明：BD⊥面APC ；

（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；

（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求 的值．

参考答案

1.B【解析】　所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为＝，故选B.

2.A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．

3.C【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．

4.C【解析】，将函数的图象向右平移个单位得

，由该函数为偶函数可知，

即，所以的最小正值是为．

5.D【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．故选D．

6.A【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，

即，即 ，，故选A．

7. 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，

                           行数    等号左边的项数

1=1             1             1

2+3+4=9           2             3

3+4+5+6+7=25        3             5

4+5+6+7+8+9+10=49      4             7

……            ……          ……

所以，

即

8.【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，

解得，，

∴，所以，

所以． 

9.【解析】，所以．

10.【解析】由，解得，根据几何概型的计算公式得概率为

．

11.【解析】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”．

由题意知．

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

故的估计值为．

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

故的估计值为．

因此，事件的概率估计值为．

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

由于，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

，

箱产量低于55kg的直方图面积为

，

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

．

12.【解析】由题意知海里，

在中，由正弦定理得

=（海里），

又海里，

在中，由余弦定理得

=

30（海里），则需要的时间（小时）．

答：救援船到达点需要1小时．

13.【解析】（Ⅰ）设点O为AC，BD的交点，

由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．

所以O为AC的中点，BD⊥AC．

又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD．所以BD⊥平面APC．

（Ⅱ）连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．

由题意得OG＝PA＝.

在△ABC中，AC＝＝，

所以OC＝AC＝.

在直角△OCD中，OD＝＝2.

在直角△OGD中，tan∠OGD＝.

所以DG与平面APC所成的角的正切值为.

（Ⅲ）连结OG.因为PC⊥平面BGD，OG平面BGD，所以PC⊥OG.

在直角△PAC中，得PC＝.

所以GC＝.

从而PG＝，所以.