【数学】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试（理）试题
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高二下学期开学考试（理）试题www.ks5u.com
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．展开式中的系数为（ ）
A． B．
C． D．
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知平行四边形中，为坐标原点，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．法国学者贝特朗于年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为的圆内随机地取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案. 现给出其中一种解释：固定弦的一个端点，另一端点在圆周上随机选取，其答案为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图．已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是（ ）
A．棱长都为2的四面体 B．棱长都为2的直三棱柱
C．底面直径和高都为2的圆锥 D．底面直径和高都为2的圆柱
11．设点为抛物线：的准线上一点（不同于准线与轴的交点），过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，设，，的斜率分别为，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．满足，，三个数成等差数列的一组，的值分别为___________．
14．若变量，满足则的最小值为___________．
15．已知函数，若对任意实数都有，则的最小值为 ．
16．已知函数．若有两个零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求；
（2）若，，求的面积．
18．（12分）
某校为了解“准高三”学生的数学成绩情况，从一次模拟考试中随机抽取了25名学生的数学成绩如下：
78 | 64 | 88 | 104 | 53 | 82 | 86 | 93 | 90 | 105 | 77 | 92 | 116 |
81 | 60 | 82 | 74 | 105 | 91 | 103 | 78 | 88 | 107 | 82 | 71 |
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（1）完成这25名学生的数学成绩的茎叶图；
数学成绩的茎叶图
| 数学成绩 | ||||||
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（2）确定该样本的中位数和众数；
（3）规定数学成绩不低于90分为“及格”．从该样本“及格”的学生中任意抽出3名，设抽到成绩在区间的学生人数为，求的分布列和数学期望．
19．（12分）
已知等比数列的前项和为 ， ，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（12分）
阳马和鳖臑（biē nào）是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓．如下图所示，取一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．
长方体 堑堵 堑堵
再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（四棱锥），余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥），称为鳖臑．
堑堵 阳马 鳖臑
（1）在阳马（四棱锥）中，连接，若，证明：；
（2）若，，，求鳖臑（三棱锥）中二面角余弦值的大小．
21．（12分）
已知椭圆（），过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．
（1）若为椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程；
（2）若经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由.
22．（12分）
已知函数（）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数，若是的唯一极值点，求.
【参考答案】
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | B | C | C | C | B | B | B | D | A | A |
二、填空题
13．,（满足即可） 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）由正弦定理得：，
所以，即， ………………3分
因为，所以，
又因为，故． ……………………5分
（2）由余弦定理得，，
因为，， 所以有，
解得，或（舍去）. …………8分
所以的面积． …………10分
18．解：（1）数学成绩的茎叶图如下：
| 数学成绩 | ||||||
5 | 3 |
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6 | 0 | 4 |
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7 | 1 | 4 | 7 | 8 | 8 |
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8 | 1 | 2 | 2 | 2 | 6 | 8 | 8 |
9 | 0 | 1 | 2 | 3 |
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10 | 3 | 4 | 5 | 5 | 7 |
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11 | 6 |
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…………………………………………………………4分
（2）样本中位数为86，
众数为82． ……………………………………………………8分
（3）样本中及格人数为10人，其中成绩在区间的有4人，
其余有6人，，1，2，3，
，，
，，
的分布列为：
0 | 1 | 2 | 3 | |
．……………………………………12分
19．解：（1）设数列的公比为，
因为，所以，故，……………………………………………2分
又因为，即，解得，…………………………5分
所以． ……………………………………6分
（2）设，由（1）知，……………………………………8分
所以，，故数列为首项为6，公比为4的等比数列，…………………10分
所以，数列的前项和为．…………12分
20．（1）证明：连接,
因为四边形是矩形, ，所以矩形是正方形，
所以， ………………………………2分
因为平面，平面，
所以， ………………………………3分
因为,平面，平面，
所以平面， ……………………………………5分
因为平面，
所以. ……………………………………6分
（2）如图，鳖臑（三棱锥）中的二面角，
即为堑堵中的二面角，
在堑堵中，以点为坐标原点，为轴，为轴，
为轴建立空间直角坐标系. …………7分
则，，,,.
于是，，
求得平面的一个法向量是，………………………………………9分
于是，，
求得平面的一个法向量是， ……………………………………11分
所以.
所以，鳖臑（三棱锥）中二面角的余弦值是. ………12分
21．解：（1）因为为椭圆的一个焦点，则，得，…………2分
椭圆的标准方程为. ……………4分
（2）因为椭圆的右焦点，
设，，，
当直线为轴时，，，三点共线，四边形不存在，
故可设直线的方程为， ……………6分
由 得，显然，
则， ……………8分
若四边形为平行四边形，则，
即，. …………10分
因为在上，所以，即，
化简，得，，
综上，四边形能为平行四边形，此时，
直线的方程为，即. ………12分
22．解：（1）由题意，
得，定义域为.
，令，得.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
综上，的单调递增区间为，单调递减区间. ……………………4分
（2）由题意，得，
，.
由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：
情形一，对任意的恒成立；
情形二，对任意的恒成立.……………………………6分
设，，且有，.
①当时，，则.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以对任意的恒成立，符合题意.…………………………8分
②当时，，则在上单调递增.
又，，所以存在，使得.
当时，，在上单调递增，
所以，这与题意不符. ……………………………………10分
③当时，设，，则；
令，得.
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
ⅰ）当时，，由于在上单调递减，
则当时，，在上单调递减；
所以，这与题意不符.
ⅱ）当时，，
由的单调性及，知，时，都有.
又在上单调递增，，
则存在，使得，
所以当时，，在上单调递减；
所以，这与题意不符.
综上，得. ……………………………………………12分
