【数学】安徽省滁州市民办高中2018-2019学年高二上学期第三次月考（文） 试卷
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高二上学期第三次月考（文）
考生注意：
- 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
- 本卷命题范围：人教A版选修1-1等 。
第I卷 选择题 （60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。）
1.下列有关命题的说法正确的是( )
A． 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B． 若p∨q为假命题，则p，q均不为假命题
C． 命题“存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D． 命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
2.已知命题p：∃x0∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A． (－∞，－2) B． [－2,0)
C． (－2,0) D． (0,2)
3.设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )
A． 1 B． －1
C． D． －2
4.设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的 ( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
5.已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则有 ( )
A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a<0，b>0 D．a>0，b<0
6.已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1
7.若函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是( )
A． B．
C． (－∞，0] D．
8.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
9.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a等于( )
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
10.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A． 4p B． 5p
C． 6p D． 8p
11.已知f(x)＝sinx＋cosx＋，则f′等于( )
A． －1＋ B．＋1
C． 1 D． －1
12.已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
第II卷 非选择题 （90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
13.已知命题p“存在x0∈[1,2]，－a≥0”，命题q“存在x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“¬p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
14.过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
15.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝______.
16.已知函数f(x)＝x3－x2－3x＋，直线l：9x＋2y＋c＝0，若当x∈[－2,2]时，函数y＝f(x)的图象恒在直线l下方，则c的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分。）
17. （10分）已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18. （12分）命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出下列条件的实数a的取值范围．
(1)p，q中至少有一个是真命题；
(2)“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题．
19. （12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；
(3)在(2)的条件下，求△OAB面积的最大值．
20. （12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点M(3，m)到焦点的距离等于5.
(1)求抛物线C的方程和m的值；
(2)直线y＝x＋b与抛物线C交于A、B两点，且|AB|＝4，求直线的方程．
21. （12分）设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
22. （12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.B
6.B
7.D
8.A
9.D
10.A
11.D
12.C
13.(4，＋∞)
14.3
15.3
16.(－∞，－6)
17.解 ∵由x2－3x－4≤0，得－1≤x≤4，
若|x－3|≤m有解，
则m>0(m＝0时不符合已知条件)，
则－m≤x－3≤m，
得3－m≤x≤3＋m，
设A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．
∵q是p的充分不必要条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴p⇒q成立，但q⇒p不成立，即AB，
则(等号不同时取到)，
即得m≥4，
故m的取值范围是[4，＋∞)．
18.p为真命题时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，解得a>或a<－1.①
q为真命题时，2a2－a>1，解得a>1或a<－.②
(1)若p，q中至少有一个是真命题，则实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题，有两种情况：p为真命题，q为假命题时，＜a≤1；p为假命题，q为真命题时，－1≤a＜－.
故“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题时，a的取徝范围为(，1]∪[－1，－)．
19.(1)解 因为椭圆的右焦点为(，0)，离心率为，
所以所以a＝，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程，
消元可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0.
所以x1x2＋y1y2＝0，
即(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
所以(1＋k2)－km×＋m2＝0，
所以4m2＝3(k2＋1)，
所以原点O到直线的距离为d＝＝.
当直线AB斜率不存在时，
由椭圆的对称性可知x1＝x2，y1＝－y2，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以x－y＝0，
因为x＋3y＝3，所以|x1|＝|y1|＝，
所以原点O到直线的距离为d＝|x1|＝，
综上，点O到直线AB的距离为定值．
(3)解 当直线AB的斜率存在时，由弦长公式可得
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝≤＝2，
当且仅当k＝±时，等号成立，
所以|AB|≤2.
当直线AB斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|＝<2，
所以△OAB的面积＝|AB|d≤×2×＝，
所以△OAB面积的最大值为.
20.(1)根据抛物线定义，M到准线距离为5，
因为M(3，m)，
所以＝2，抛物线C的方程为y2＝8x，m＝±2.
(2) 因为直线y＝x＋b与抛物线C交于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y2－8y＋8b＝0，
所以|AB|＝|y1－y2|
＝
＝＝4，
所以b＝，直线方程为y＝x＋.
21.(1)f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)5－4＜a＜5＋4
(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；
单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4＜a＜5＋4时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根．
22.(1)a＝2. (2)当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
