【数学】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高二上学期第二次段考（理）（解析版） 试卷

安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年
高二上学期第二次段考（理）
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 命题“∀x∈（0，1），x2-x＜0”的否定是（　　）
A. , B. ,​
C. , D. ,​
2. 过点P（1，2）且与直线3x+y-1=0平行的直线方程是（     ）
A. B.
C. D.
3. 已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（      ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
4. 已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
5. 圆与圆的位置关系是　
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
6. 已知直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直，则a=（　　）
A. B. C. 1 D. 3
7. 已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为（    ）
A. B. C. D.
8. 已知p：（x-1）（x-2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的（      ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；
③“∀x∈，x2+1≥1”的否定是“∃x∈，x2+1＜1”；
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．
其中正确的命题的个数是(        )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(     )

A. 12
B. 18
C. 24
D. 30
11.设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为（　　）
A. B. C. D.
12.已知四棱锥的顶点都在球O的球面上,底面ABCD是矩形,平面底面ABCD,为正三角形,,则球O的表面积为     
A. B. C. D.

第II卷（非选择题）
二、 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若三点，，共线，则m的值为______．
14.设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为______．
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________．
16.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是______．

​三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．
若p为真命题，求实数m的取值范围；
若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．







18.在平面xOy中，已知椭圆过点P（2，1），且离心率．（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．

（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．







20.已知曲线方程为：．
若此曲线是圆,求m的取值范围；
若中的圆与直线相交于M,N两点,且为坐标原点,求m的值．








21.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=2千米，AN=2千米．
（1）求线段MN的长度；
（2）若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．







22.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．






参考答案
1.【答案】B
【解析】​【分析】
本题考查全称命题的否定,属于基础题.
根据“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述,“全称命题”的否定一定是“特称命题”,写出结果即可.
【解答】
解:∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题“∀x∈(0,1),x2-x＜0”的否定是“∃x0∈(0,1),​”.
故选B.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查两直线平行的条件及直线方程的求解,属于容易题.
​由题意设所求直线方程为3x+y+C=0，将点（1，2）代入解出C的值，即可得到所求平行线的方程．
【解答】
解: 设所求直线为l，
∵直线l与直线3x+y-1=0平行，
∴设l的方程为3x+y+C=0，
将点（1，2）代入，得3×1+2+C=0，
解得C=-5．
∴l的方程为3x+y-5=0，即为所求平行线的方程．
故选A.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，解题时要注意圆的性质的合理运用，属基础题.
化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，利用垂径定理求得答案．
【解答】
解：由x2+y2-6x=0，得（x-3）2+y2=9，​
​∴圆心坐标为（3，0），半径为3．
如图：当过点P（1，2）的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦AB最短，
则最短弦长为．
故选C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．
由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．
【解答】
解：如图，
取AD中点F，连接EF，CF，
∵E为AB的中点，
∴EF∥DB，
则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，
∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，
∴CE=CF．
设正四面体的棱长为2a，
则EF=a，
CE=CF=．
在△CEF中，由余弦定理得：
=．
故选B.
5.【答案】B

【解析】【分析】
本题考查了圆的标准方程，圆与圆的位置关系，属于基础题．
​求出两圆的圆心，半径，计算圆心距，比较圆心距与两半径的关系得出结论．
【解答】
解：圆C1的圆心为（-1，-2），半径为r1=2，
圆C2的圆心为（1，-1），半径为r2=3，
两圆的圆心距d==，
∴r2-r1＜d＜r1+r2，
∴两圆相交．
故选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得a值．
【解答】
解：∵直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直，
∴a•3+3（-1）=0，解得a=1.
故选C.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了球的内接体与球的体积，考查运算求解能力，空间想象能力，属于中档题．
把三棱锥D-ABC扩展为三棱柱，上下底面中心E，F的连线的中点O与A的距离为球的半径，根据题中条件求出半径OA，即可求出球的体积.
【解答】
解：由题意画出几何体的图形，
把三棱锥D-ABC扩展为三棱柱，
上下底面中心F，E的连线的中点O与A的距离为球的半径R，
AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，
所以．
．
所求球的体积为．
故选A．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式，对数不等式的解法，充分条件和必要条件的判断，属于基础题.通过求解不等式求出p，由对数不等式求解q，然后利用充分条件和必要条件的判断方法判断即可．
【解答】
解：由题意可知p：（x-1）（x-2）≤0，可得p：1≤x≤2；
q：log2（x+1）≥1，可得x+1≥2，可得q：x≥1，
∵，，
​则p是q的充分不必要条件．
故选：A．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，属于基础题.
根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义及三角形正弦定理，可判断④．
【解答】
解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”，故正确；
③“∀x∈，x2+1≥1”的否定是“∃x∈​，x2+1＜1”，故正确；
④在△ABC中，“A＞B”“a＞b”“2RsinA＞2RsinB”​“sinA＞sinB”，
故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故正确．
故选C．
10.【答案】C
【解析】​【分析】
本题考查了由三视图求几何体的体积，属于中档题.
几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及削去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．
【解答】
解：由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，
三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，
∴几何体的体积V=×3×4×5-××3×4×3=30-6=24．
故选C．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设|BF1|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．
【解答】
解：设|BF1|=k（k＞0），
则|AF1|=3k，|AB|=4k，
∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k，
∵cos∠AF2B=，
在△ABF2中，由余弦定理得：
​|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，
∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-（2a-3k）（2a-k），
化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，|AB|=4k，
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
∴AF1⊥AF2，且=3k,
∴△AF1F2是等腰直角三角形，，
∴c=a，
​∴椭圆的离心率e==.
故选D．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了球的表面积，考查学生的计算能力，属于基础题．
​求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．
【解答】
​解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=，​
因为平面PAD⊥底面ABCD，
所以OO1=AB=2，
所以球O的半径R==，
所以球O的表面积=4πR2=．
故选B．
13.【答案】4
【解析】【分析】
​本题考查三点共线的性质，当A，B，C三点共线时，AB和AC的斜率相等．
由三点共线的性质可得AB和AC的斜率相等，由=，求得m 的值．
​【解答】
解：由题意可得AB和AC的斜率相等，∴=，∴m=4，
故答案为4．
14.【答案】64
【解析】【分析】
本题考查数列的性质，数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力，属于中档题．求出数列的公比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值．
【解答】
解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，
可得a2+a4=q（a1+a3）=5，解得q=，
a1+q2a1=10，解得a1=8，
则a1a2…an=q1+2+3+…+（n-1）=8n•，
当n=3或4时，a1a2…an取得最大值：．
故答案为64．
15.【答案】​
【解析】【分析】
本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．
【解答】
解：由cosA=，cosC=，且A，B，C，可得：
sinA===，
sinC===，
sinB=sin（A+C）
​=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
由正弦定理可得b===．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,属基础题.
​​设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
【解答】
解：设球的半径为R，则球的体积为V2=R3，
圆柱的体积为V1=πR2•2R=2πR3,
则==．
故答案为．
17.【答案】解：（1）若p为真命题，则应有△=8-4m＞0，
解得m＜2．
（2）若q为真命题，则有m+1＜2，即m＜1，
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q应一真一假．
①当p真q假时，有，得1≤m＜2；
②当p假q真时，有，无解．
综上，m的取值范围是[1，2）．
【解析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，指数函数的图象和性质，难度中档．
（1）若p为真命题，则应有△=8-4m＞0，解得实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q应一真一假，进而可得实数m的取值范围．
18.【答案】​解：（1）椭圆C：过点P（2，1），且离心率，
可得：，
解得a=，c=，则b=，
椭圆方程为：；
（2）直线方程为，
A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立方程组，
整理得：，
直线与椭圆要有两个交点，
所以,
解得.
当点P在直线AB上时m=0，
​故-2