【数学】安徽省郎溪中学2018-2019学年高二上学期直升部返校考试
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高二上学期直升部返校考试
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．－3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B
2．若sin(π－α)＝－2sin，则sin α·cos α的值等于( )
A．－ B．－ C．或－ D．
3．已知直线(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2(k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为( )
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
4．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝( )
A．10 B．15 C．－5 D．20
5．函数的零点所在的大致区间是( )
A． B． C． D．与
6．若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )
A．4 B． C．6 D．
7．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )
A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行
8．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1 B． C．9 D．16
9．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是( )
A．(4,6) B．[4,6] C．[4,6) D．(4,6]
10．为了得到函数f (x)＝2sin的图象，可将函数g(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象( )
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( )
A． B．
C． D．
12. 已知函数在上的最大值为，最小值，则( )
A．0 B．2 C．4 D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上.
13．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝______．
14．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是______．
15．在等比数列中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝______．
16．如图所示，在平面四边形中，，为正三角形，则面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分) 已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f (x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
18．(12分) 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，且共线．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若的面积是，，求．
19．(12分) 已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．
(Ⅰ)求直线PA，PB的方程；
(Ⅱ)求过P点的圆的切线长；
(Ⅲ)求直线AB的方程．
20. (12分) 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．
(Ⅰ)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(Ⅱ)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
21. (12分) 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB．
(Ⅰ)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(Ⅱ)求二面角EDBC的正切值．
22.(12分) 已知数列、满足：，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，数列｛｝的前n项和为，求证：．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | C | D | B | B | D | B | A | D | D | D |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上.
13. 8 14．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 15． 16.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）
解：(Ⅰ)因为f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
所以2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，
所以0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，
由根与系数的关系，知－＝5，＝0，
所以b＝－10，c＝0，所以f(x)＝2x2－10x.
(Ⅱ)对任意的x∈[－1,1]，f(x)＋t≤2恒成立等价于对任意的x∈[－1,1]，2x2－10x＋t－2≤0恒成立．
设g(x)＝2x2－10x＋t－2，
则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，
所以g(x)max＝g(－1)＝10＋t，所以10＋t≤0，即t≤－10，所以t的取值范围为(－∞，－10]．
18．（本题满分12分）
解:(Ⅰ) 由共线得：，根据正弦定理得，
，由为锐角三角形得．
(Ⅱ) 根据余弦定理，得
由得，又
所以，．
19．（本题满分12分）
解：(Ⅰ) 设过P点圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx―y―2k―1＝0．
因为圆心(1，2)到直线的距离为，＝， 解得k＝7，或k＝－1．
故所求的切线方程为7x―y―15＝0，或x＋y－1＝0．
（Ⅱ）在Rt△PCA中，因为|PC|＝＝，|CA|＝，
所以|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8．所以过点P的圆的切线长为2．
(Ⅲ)容易求出kPC＝－3，所以kAB＝．
如图，由CA2＝CD·PC，可求出CD＝＝．
设直线AB的方程为y＝x＋b，即x－3y＋3b＝0．
由＝解得b＝1或b＝(舍)．
所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0．
(Ⅲ)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．
20．（本题满分12分）
解：(Ⅰ) 设AN的长为x米(x＞2)，∵，∴|AM|＝
∴＝|AN|•|AM|＝，由＞32得＞32，
∵x＞2，∴3x2－32x＋64＞0，即(3x－8)(x－8)＞0
∴或x＞8，即AN长的取值范围是
（Ⅱ）
当且仅当，即x＝4时，y＝取得最小值．
即取得最小值24(平方米)．
21.（本题满分12分）
解：(Ⅰ) 证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.
同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，
即DE⊥EC.
在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，
又DE⊂平面D1DCC1，
所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，
所以DE⊥平面EBC.
因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.
(Ⅱ)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角EDBC的平面角．利用平面几何知识可得OF＝，又OE＝1，所以tan∠EFO＝.
22．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵；，，∴
∴，∴
∴，∴
∴
（Ⅱ）∵，∴
=
∴+……
=
．
