【数学】安徽省涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考（理） 试卷
展开安徽省涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考（理）
试题说明：
本试题第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷共150分,时间120分钟.
考生注意事项：
1．答题前，务必在答题卡上规定的地方填写自己的姓名、班级、座位号.
2．第I卷必须使用2B铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．第II卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题卡的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效.
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一．选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个答案正确)
1.若,且,则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.在中,,则（ ）
A． B． C． D．
3.命题“若,则”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
4.方程表示的曲线是（ ）
A．B．C．D．
5.若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）
A．2 B．-10 C． D．10
6.已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
7.已知为等比数列,,,则（ ）
A． B． C． D．
8.正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
9.已知,且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.四棱柱的底面为矩形，，
，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12.已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，，接着下一项是2，接着三项是，，，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前项和为，则满足的最小的正整数的值为（ ）
A．65 B．67 C．75 D．77
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.命题“”的否定为 .
14.若满足约束条件,则的最大值为 .
15.若平面内动点到两定点的距离之比,则动点的轨迹为圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称作阿波罗尼斯圆.若已知,则此阿波罗尼斯圆的方程为 .
16.中，，D是BC上一点,且，则的面积为 .
三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（10分）已知命题恒成立,命题恒成立,若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.
18.（12分）内角的对边分别为,已知.
（1）求;
（2）若为锐角,,的面积为,求的周长.
19.（12分）已知数列是等差数列,首项,且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前项和.
20.（12分）雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元．
（1）若投资人用万元投资甲项目，万元投资乙项目，试写出所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示范围的图形;
（2）根据（1）的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大?
21.（12分）如图，是菱形，与相交于点，平面平面，且是直角梯形， .
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
22.（12分）已知数列的前项和满足.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前项和;若对恒成立,求实数最小值.
参考答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | D | B | D | A | A | D | A | C | D | B | C |
12.由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1， 2，4，8，16，5）…，
则第t组的和为，数列共有项，当时，,随增大而增大，
时，，，
时，，，第65项后的项依次为，，，…，，11，，，…，又，，，，，∴满足条件的最小的值为.
13. 14. 2 15. 16.
16.，，，
在中，由正弦定理，可得：，解得：，
可得：，
，，
，可得：，
，
在中，由余弦定理可得：，
解得：，或3．，，可得：，可得：，与矛盾，，在中，由正弦定理，可得：，．
17.若真： 对恒成立，则；
若真：，则.
为假命题，为真命题，则一真一假.
若真且假，则，得；
若假且真，则，得.
综上所述：的取值范围为.
18.（1）
由正弦定理得，
，即又， 或.
（2），由余弦定理得，
即 ，
而的面积为 .
的周长为.
19.（1）设数列的公差为，
由,且是与的等比中项得：,.
当时，与是与的等比中项矛盾，舍去..
（2）
.
20.（1）由题意，知x，y满足的条件为上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分含边界
（2）根据第一问的规划和题设条件，依题意
可知目标函数为，在上图中，作直线：
平移直线，当经过直线与的交点A时，其纵截距最大，
解方程与，解得，，即，此时万元，所以当，时，z取得最大值，即投资人用5万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过万元，且使可能的利润最大
21.（1）证明：在棱形中，可得，
因为平面平面，且交线为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）因为平面平面，且交线为，由，得平面.
取的中点，以为坐标原点，以为轴， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，则.
所以.
设平面的法向量
由，可取
由.设平面的法向量为，
同上得，可取.则，
因二面角为钝二面角，故其余弦值为.
22.（1）由得.由，可知，
可得，即.因为，所以，故
因此是首项为，公比为的等比数列，故.
（2）由（1）知.
所以①
两边同乘以得
②
①②相减得
从而于是，
当是奇数时，，因为，
所以. 当是偶数时，,因此.
因为，所以，的最小值为.
