【数学】贵州省铜仁市第一中学2018-2019学年高二上学期开学考试试题
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高二上学期开学考试试题
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间120分钟，满分150分
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 =（ ）
A．∅ B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，c=log23，则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
4．已知α为第二象限的角，且，则sinα+cosα=（ ）
A． B． C． D．
5．已知△ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．设为等差数列的前n项和，已知a1=S3=3，则S4的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
8．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知变量x，y满足约束条件，则2x﹣y的最小值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣1
10．若直线（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则最小值（ ）
A．2 B．6 C．12 D．3+2
11．已知函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．0＜x＜3 C．1＜x＜e D．1＜x＜3
12．设等差数列满足，公差，若当且仅当n=11时，数列的前n项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设向量，．若，则m= ．
14．已知，则的值是 ．
15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R上的部分图象如图所示，
则f（2018）的值为 ．
16．已知直线l：与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则|CD|= ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB=90°，CB=CD，点E为棱PB的中点．
（Ⅰ）若PB=PD，求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求证：CE∥平面PAD．
18．（12分）
已知的前n项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．
19．在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设，，试用、表示、．
20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．
21．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部，求实数m的取值范围．
22．已知函数.
（Ⅰ）当时，证明： 为偶函数；
（Ⅱ）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，求实数的取值范围，使在上恒成立.
参考答案
一．选择题（共12小题）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | A | C | C | B | B | A | C | D | D | D |
8．
【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，
∴0＜2A＜，且B+A=3A，
∴＜3A＜π．
∴＜A＜，
∴＜cosA＜，
∵a=1，B=2A，
∴由正弦定理可得：=b==2cosA，
∴＜2cosA＜，
则b的取值范围为（，）．
故选：A．
11．
【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，
令t=ex，可得y=e（t+），
内函数t=ex为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．
又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，
∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．
故选：D．
12．
【解答】解：∵等差数列{an}满足=1，
∴
=
=
=
sin（a2﹣a7）=sin（﹣5d）=1，
∴sin（5d）=﹣1，
∵d∈（﹣1，0），∴5d∈（﹣5，0），∴5d=﹣，d=﹣．
由Sn=na1+d=na1﹣=﹣π+（a1+）n．
对称轴方程为n=（a1+），
由题意当且仅当n=11时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，
∴＜（a1+）＜，解得：π＜a1＜．
∴首项a1的取值范围是（π，）．
故选：D．
二．填空题（共4小题）
13．﹣1． 14. 15. 2 16. 4
15．
【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，
=11﹣2=9，解得T=12，ω==；
又f（0）=Asinφ=1，
∴sinφ=；
f（2）=Asin（×2+φ）=A，
∴φ=，
∴=sin=，
∴A=2，
∴f（2018）=f（168×12+2）=f（2）=A=2．
故答案为：2．
16．
【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，
∴=3，
∴m=﹣
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴|CD|==4．
故答案为：4．
三．解答题（共6小题，满分22分）
17．
【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，
因为CD=CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．
因为PB=PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．
又PO∩CO=O，所以BD⊥平面PCO．
因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．
解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，
又EO平面PAD，所以EO∥平面PAD．
由∠ADB=90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，
又CO平面PAD，所以CO∥平面PAD．
又CO∩EO=O，所以平面CEO∥平面PAD，
而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．
18．
【解答】（Ⅰ）解：已知{an}的前n项和，
则：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣n2﹣4（n﹣1）+（n﹣1）2=5﹣2n．
当n=1时，a1=S1=3，适合上式
∴an=5﹣2n．
（Ⅱ）解：令=，
+…+①，
所以：+…+②，
①﹣②得：﹣，
=，
=．
整理得：．
19．
【解答】解：如图所示，因为AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，
所以=+=+（﹣）
=﹣+（﹣+）=．
因为A、H、G三点共线，
所以存在实数m，使=m=m（+）=m+m；
又D、H、F三点共线，
所以存在实数n，使=n=n（﹣）=n﹣n．
因为+=，所以+n=m+
因为a、b不共线，
∴解得m=，
即=（+）=+．
20．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，
又bsinA=acos（B﹣）．
∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，
∴tanB=，
又B∈（0，π），∴B=．
（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，
由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，
∵a＜c，∴cosA=，
∴sin2A=2sinAcosA=，
cos2A=2cos2A﹣1=，
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．
21．
【解答】解：（1）∵程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，
∴△=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜5，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．
（2）直线x+2y﹣4=0代入圆的方程，消去x可得：5y2﹣16y+8+m=0
∵△＞0，∴m＜，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，
∴x1x2=（4﹣2y1）（4﹣2y2）=16﹣8（y1+y2）+4y1y2=，
∵坐标原点O在以MN为径的圆的外部，
∴＞0，
∴x1x2+y1y2＞0，
∴+＞0
解得m＞．
22．
【解答】：
（1）当时， ，定义域关于原点对称，
而，说明为偶函数；
（2）在上任取、，且，
则，
因为，函数为增函数，得， ，
而在上单调递增，得， ，
于是必须恒成立，
即对任意的恒成立，
；
（3）由（1）、（2）知函数在上递减，在上递增，
其最小值，
且，
设，则，
于是不等式恒成立，等价于，
即恒成立，
而，仅当，即时取最大值，
故
