【数学】四川省成都外国语学校2018-2019学年高二上学期入学考试（理）

四川省成都外国语学校2018-2019学年高二上学期入学考试（理）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。2、本堂考试120分钟，满分150分。3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂。4、考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卡上)1、已知，为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）A．           B．             C．           D．2、下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（    ）A．         B．        C．        D．3、中，分别是角所对应的边，，，，则（    ）A．             B．                  C．               D． 4、在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为（    ）A．                B．                  C.               D．5、设是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是（   ）A．              B． C．              D． 6、已知直线与直线平行，则的值为（   ）A．                  B．                 C．或            D．或7、已知，，则（    ）A.                   B.              C.                   D. 或8、正四面体中， 是棱的中点， 是点在底面内的射影，则异面直线与 所成角的余弦值为（    ）A.                B.               C.                D. 9、在直三棱柱中，，，，，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ）A．                   B．                 C．                 D． 10、若的解集为，则对于函数应有（   ）A．                        B． C．                        D． 11、如图是一个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（   ）A．                    B．     C．              D． 12、已知数列中，，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为（   ）A．26                B．28                  C.30               D．32第Ⅱ卷    （非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上）13、等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为       14、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为____15、若，，，则的最小值是______16、已知直线， 是之间的一定点，并且点到的距离分别为1，2， 是直线上一动点， ， 与直线交于点，则面积的最小值为__________三、解答题：（本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题10分）已知函数．（1）若，解不等式：；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．     18、（本小题12分）过点的直线，（1）当在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时，求直线的方程；（2）若与坐标轴交于、两点，原点到的距离为时，求直线的方程以及的面积.  19、（本小题12分）已知函数（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.       20、（本小题12分）如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6。⑴ 求证：平面平面ACD；⑵ 求二面角的平面角的正切值；⑶ 设过直线AD且与BC平行的平面为，求点B到平面的距离。     21、（本小题12分）已知数列是等差数列，其前项和为，且，。数列是各项均为正数的等比数列，且，．（1）求数列及数列的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求证：．         22、（本小题12分）已知常数，数列的前n项和为Sn，，．   （1）求数列的通项公式；   （2）若，且数列是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若，，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得？若存在，试求出p、q的一组值(不论有多少组，只要求出一组即可)；若不存在，请说明理由．
参考答案1-12：DCBC  DABB    ADDA    13、    14、       15、2     16、17、解：（1）当m=2时， ，所以原不等式的解集为（2）当m=0时，显然不合题意，当．18、解：(1) ,和；（2）依题，直线斜率存在，设其为，设方程为，即，原点到的距离，则，所以直线的方程为；  的面积19、解：（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得. ∴.20、解：⑴平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC，∴BD⊥平面ABC. AC平面ABC，∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB＝B，∴AC⊥平面ABD.又AC平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD； ⑵设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连接AF， 由三垂线定理：∠EFA为二面角的平面角.  ∴二面角的平面角的正切值为2. （3）过点D作DG//BC，且CB＝DG，连接AG， ∥平面ADG，∴B到平面ADG的距离等于C到平面ADG的距离h   .21、解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以． 因为，，所以，，所以，解得（负值舍去），所以． （2）由（1）可得，则 ①， ②，①－②可得，则，所以， 因为，所以，所以，又，所以，所以．22、解：(1)∵，∴nan=Sn+an(n－1)，∴(n－1)an－1=Sn－1+a(n－1)(n－2)相减得nan­－(n－1)an－1=an+2a(n－1)，即(n－1)an－(n－1)an－1=2a(n－1)，其中n≥2∴an－an－1=2a为定值∴是以2为首项2a为公差的等差数列，∴an=2+(n－1)2a=2a(n－1)+2…………4分方法二：∵，∴Sn­－Sn－1=+a(n－1) ∴ －Sn－1=a(n－1)，其中n≥2∴－=a为定值，∴{}是以2为首项a为公差的等差数列∴=2+(n－1)a，∴an=+a(n－1)=2a(n－1)+2……………………4分(2)由是单调递增数列，得bn＜bn+1，即3n+(－1)n[2a(n－1)+2]＜3n+1+(－1)n+1(2an+2)即(－1)na＜………………………5分1°若为正奇数，则－a＜在n为正奇数时恒成立设f(n)=，则f(n)－f(n+2)=-=－＜0∴f(1)＜f(3)＜f(5)……∴－a＜f(1)=5即a＞－5………………………6分方法二：则f(n)－f(n+1)=－=－它在n=1时为正，在n≥2为负，∴f(1)＞f(2)＜f(3)＜f(4)＜f(5)＜…∴－a＜min{f(1)，f(3)}=min{5，}=5即a＞－5…………6分2°若n为正偶数，则a＜在n为正偶数时恒成立，设g(n)=则g(n+2)-g(n)= -=＞0，∴g(2)＜g(4)＜g(6)＜…∴方法二：则g(n+1)－g(n)= -=＞0∴g(1)＜g(2)＜g(3)＜g(4)＜…，∴a＜g(2)=综合1°2°及a≠0得－5＜a＜且a≠0……………8分(3)由(1)得，∴可化为方法一：即p===…………………………10分令得(或令得，或交换前两组p，q的值，能够确定的有四组)∴存在满足要求的p，q，且有一组值为…………………12分方法二：即pq－kp－kq=2019k即(p－k)(q－k)=k(k+2019)=1×(k2+2019k)=k×(k+2019)令即(或令即，或交换前两组p，q的值，共能确定四组)∴存在满足要求的p，q，且有一组值为…………………12分