【数学】安徽省定远重点中学2018-2019学年高二下学期开学考试（文）

安徽省定远重点中学2018-2019学年高二下学期开学考试（文）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)                                                                          1.下列命题错误的是(　　)A． 命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题B． 命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”C． ∀x>0且x≠1，都有x＋>2D． “若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真2.已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)A．a≥－1               B．a≤1                C．a≥1               D．a≤－33.命题“∃x0∈R，－2x0＋1＝0”的否定是(　　)A． ∃x0∈R，－2x0＋1≠0B． 不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C． ∀x∈R，x3－2x＋1＝0D． ∀x∈R，x3－2x＋1≠04.设AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是(　　)A． 98a               B． 99a                C． 100a                   D． 101a5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为(　　)A．                        B．                     C．              D．6.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于(　　)A． 4p              B． 5p                 C． 6p               D． 8p7.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有(　　)A．f(x)g(x)>f(b)g(b)                      B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x)                      D．f(x)g(x)>f(a)g(a)8.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　)9.已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)A． －37　　　　　　  B．  －29                  C．  －5           D．  以上都不对10.已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)A．     B． －               C． －e                         D． e11.曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)A． －                     B．              C． －                      D．12.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF是等边三角形，则p等于(　　)A． 6                B． 8                  C． 4               D． 2二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)                                                                          13.已知命题p：∃x0∈R，＋2ax0＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．15.过P(8,3)作双曲线9x2－16y2＝144的弦AB，且P为弦AB的中点，那么直线AB的方程为________．16.已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于________．三、解答题(共6小题,共70分)                                                                          17.已知二次函数f(x)＝ax2＋x，试问是否存在实数a，使得命题“∃x0∈[0,1]，f(x0)＜1”是否成立，若存在，求出实数a的取值范围，否则说明理由．    18.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．19.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点(，1)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．   20.(1)求过曲线y＝sinx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．(2)已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．    21.已知点F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点M(0，)满足线段MF的中点在抛物线C上．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线MF与抛物线C相交于A，B两点，求线段AB的长．    22.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．  参考答案1.D   2.C   3.D  4.D  5.C  6.A  7.C  8.B  9.A  10.D  11.B  12.A13.(0,1)14.　15.　3x－2y－18＝016.1817. 解：假设存在实数a，使得命题“∃x0∈[0,1]，f(x0)＜1”成立．f(x)＜1即为ax2＋x＜1，当x＝0时，0＜1恒成立；当x∈(0,1]时，a＜＝(－)2－，由≥1，可得(－)2－≥0，故a＜0.即存在实数a且a＜0，使得命题“∃x0∈[0,1]，f(x0)＜1”成立．18. 解： (1)由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2.所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)在△PF1F2中，|PF2|＝2a－|PF1|＝4－|PF1|.由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos  120°，即(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，所以|PF1|＝.所以＝|F1F2|·|PF1|·sin  120°＝×2××＝.19.解　(1)由e＝，可得＝，所以a2＝3b2，故双曲线方程可化为－＝1.将点P(，1)代入双曲线C的方程，解得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，⇒(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由题意得，解得－1<k<1且k≠±.所以k的取值范围为(－1，－)∪(－，)∪(，1)．20.(1) 2x＋y－－＝0. (2) 4x－4y－1＝0解：(1)∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲线在点P处的切线斜率是：y′|x＝＝cos＝.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y－＝－，即2x＋y－－＝0.(2)∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M.∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.21. 解： (1)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(，0)，∴线段MF的中点为(，)，∵线段MF的中点在抛物线C上，∴()2＝2p×，∵p＞0，∴p＝，∴抛物线C的方程为y2＝x.(2)直线MF的方程为＋＝1，即4x＋y－1＝0，与y2＝x联立消去y得，16x2－10x＋1＝0，解得x＝或，当x＝时，y＝－；当x＝时，y＝，∴A(，－)，B(，)或B(，－)，A(，)，∴|AB|＝＝.22.(1)a＝3，b＝3. (2) 最大值为1解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋a2.令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－.a>0时，h(x)与h′(x)的情况如下：所以函数h(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为.当－≥－1，即0<a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a2.当－<－1，且－≥－1，即2<a≤6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.当－<－1，即a>6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增．又因h－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2>0，所以h(x)在区间(－∞，－1)上的最大值为h＝1.