【数学】安徽省黄山市屯溪第一中学2018-2019学年高二下学期入学摸底考试（理）
展开安徽省黄山市屯溪第一中学2018-2019学年
高二下学期入学摸底考试（理）
（时间：120分钟 满分：150分）
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）
1、命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2、已知圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（ ）
A. B. C. D.
3．已知函数则（ ）
A.3 B.1 C.-1 D.-2
4.命题p：“平面内过点与抛物线有且只有一个交点直线恰有两条”；命题q：“ 函数（且）的图象过定点”，则四个命题，，，中，正确命题的个数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆，，，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）
A. B. C. D.
6.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题中正确的是（ ）
A.若，则∥； B.若，∥，则；
C.若∥，∥，则∥； D.若∥，，则.
7.如图，正方体中，E、F分别是、BD的中点，则直线与EF所成的角余弦值是 （ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知圆与轴相切，抛物线过圆心，其焦点为，则直线被抛物线所截得的弦长等于 （ ）
A. B. C. D.
10.已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）
A. B. C. D.
11.已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
12.已知定义在上的奇函数在上递减,且,则满足的实数的取值范围是( )
. . . .
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.编号为的三位学生随意坐入编号为的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率
14.椭圆上的点到直线的最远距离是________．
15．已知，若函数有零点，则实数的最小值为 ．
16.某曲线的方程为，若直线与该曲线有公共点，则实数的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
设命题实数满足（）；命题实数满足＜0．
（1）若且p∧q为真，求实数的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.（本题满分12分）
已知函数，
（1）画出函数的图象，并写出的递减区间；
（2）若函数，求函数恒成立时实数的取值范围.
19.（本题满分12分）
如图，中，，沿斜边上的高将折起到的位置，点在线段上．
求证：；
过点作交于点，点为的中点，若 平面，求的值．
20．（本题满分12分）
已知抛物线，
（1）若动直线与抛物线相交于点，动点的坐标是，求线段的中点的轨迹方程．
（2）过点的直线交抛物线于、两点，点坐标是，若的面积为，求直线的倾斜角的值．
21.（本题满分12分）
如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，，是线段上的一点不包括端点．
1求证：平面平面；
2试确定点的位置，使直线与平面所成角的正弦值为．
22.（本题满分12分）
如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为、，若直线 在轴、轴上的截距分别为、，求证：为定值.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）
1、命题“”的否定是（D）
A、 B、
C、 D、
2、已知圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（ A ）
A. B. C. D.
3．已知函数则（ C ）
A、3 B、1 C、-1 D、-2
4.命题p：“平面内过点恰有两条直线与抛物线有且只有一个交点”；命题q：“ 函数（且）的图象过定点”则四个命题，，，中，正确命题的个数为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.【答案】C【解析】解：命题p是假命题；命题q：是假命题．
则四个命题，，，中，正确命题为：，，，个数为3．故选：C．
5.如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆，，，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 D
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：大圆的半径为，则大半圆的面积，
和的面积之和为，的一半面积为，则阴影部分的面积，则对应概率，故选：D．
6.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题中正确的是（ B ）
A.若，则∥； B.若，∥，则；
C.若∥，∥，则∥； D.若∥，，则.
7.如图，正方体中，E、F分别是、BD的中点，则直线与EF所成的角余弦值是 C
- B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，取AD的中点G，
连接EG，GF，为直线与EF所成的角
设棱长为2，则，，
，故选：C．
8.如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是 C
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：连接AF，，故选：C．
9.已知圆C：与y轴相切，抛物线E：过圆心C，其焦点为F，则直线CF被抛物线所截得的弦长等于 A
A. B. C. D.
10.已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 B
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由三视图还原原几何体如图：
该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，，，
侧面PAD为等腰直角三角形，且平面平面ABCD，
连接AC，BD，设，则O为该几何体的外接球的球心，
则半径，该几何体的外接球的表面积为．故选：B．
11.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为( A )
A. B. C. D.
【答案】A
【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
，即，，
，，，ACDB是梯形，
F是AB的中点，，，
所以，双曲线的离心率为2，可得，可得：，解得．则双曲线的方程为：．故选：A．
12.已知定义在上的奇函数在上递减,且,则满足的的取值范围是( D )
. . . .
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率 【答案】
14.椭圆上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是________．【答案】
15．已知，若的零点个数不为，则的最小值为 ．【答案】1
16.曲线的方程为，若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是________．【答案】
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设命题实数满足（）；命题实数满足＜0．
（1）若且p∧q为真，求实数的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.（1）由x2-4ax+3a2＜0得(x-3a)(x-a)＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，.- --------------------2分
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由实数x满足 得-2＜x＜3，即q为真时实数x的取值范围是-2＜x＜3．4分
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是1＜x＜3．---------------------- 6分
（2）p是q的充分不必要条件
由a＞0，及3a≤3得0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是0＜a≤1． -------------10分
18.已知函数，
（1）画出函数的图象，并写出的递减区间；
（2）若函数，求函数恒成立时实数的取值范围.
- （1）图象略，-------3分
递减区间：-------5分
(2) 记H（x）=x2-（a+2）x+4，x∈[-1，1]．
①当 ≤-1，即a≤-4时，H（x）min=H （-1）=a+7＞0，即a＞-7．
又因为a≤-4，所以-7＜a≤-4； ……………………（7分）
②当-1＜＜1，即-4＜a＜0时，
H （x）min=H （）=＞0，恒成立，
所以-4＜a＜0； ……………………（9分）
③当 ≥1，即a≥0时，H （x）min=H （1）=3-a＞0，即a＜3．
又a≥0，所以0≤a＜3．
综上所得-7＜a＜3． ……………………（12分）
19.如图，中，，沿斜边上的高将折起到的位置，点在线段上．
求证：；
过点作交于点，点为的中点，若平面，
求的值．
【答案】解：是AC边上的高，
，，
又，
平面PCD，
又平面PCD中，
，即；----------6分
如图所示，
连接BE，交DM与点F，
平面DMN，
，
又点N为PB中点，
点F为BE的中点；
；
又，
是等边三角形，
设，则，；
． -----------------12分
20.如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，，M是线段PD上的一点不包括端点．
1求证：平面平面；
2试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角的正弦值为．
【答案】解： 1底面ABCD，平面AC，，
，
，又，
平面PAC．又平面,平面平面
2取CD的中点E，则，
，又底面ABCD，，
建立如图所示空间直角坐标系，
则0，，0，，，
，，
设y，，()，
则y，，
解得点，即，
设平面PDC的一个法向量，则，，
，，
由，得不合题意舍去或，
所以当M为PD的中点时，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为．
20.已知抛物线，
（1）若动直线与抛物线相交于点，动点的坐标是，求线段的中点的轨迹的方程．
（2）过点的直线交抛物线于、两点，点坐标是，若的面积为，求直线的倾斜角的值．
20．(1)设，由题意 ，又的坐标是，所以线段的中点坐标满足，消去得，即为的轨迹的方程.
(2)设直线l的方程为y=k(x－2)，因l与抛物线有两个交点，故k≠0.
∴ △EPQ的面积为
或
22．如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为、，若直线 在轴、轴上的截距分别为、，求证：为定值.
解：（1）依题意知：椭圆的长半轴长，则，
设椭圆的方程为，由椭圆的对称性知 又，，为等腰直角三角形.
点C（1，1），B（-1，-1），由点C在椭圆上得，
所以椭圆E的方程为 -------------5分
（3）设点由、分别为圆切点知，，,
所以O、M、P、N四点共圆，且圆的直径为OP,
所以圆心为，该圆的方程为，
即，①
即点、满足方程①，又点、都在圆上，、坐标也满足圆的方程，②
②①得直线的方程为， -------------------9分
令，得，令得，
，，又点在椭圆上，
，即（定值）；--------------12分
