【数学】河南省林州市第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试（理）
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高二下学期开学考试（理）
一、填空题（共60分）
1.“x2=4”是“x=2”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为(-4，0)，(4，0)，则双曲线方程为 ( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
6．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
7.已知空间向量a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)，若2a-b与b垂直，则|a|= ( )
A. B. C. D.
8.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线，交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为 ( )
A.4 B.8 C.12 D.16
9.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
11．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,4，|BF|成等差数列，则k＝( )
A．2或－1 B．－1 C．2 D．1±
二、填空题（共20分）
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2.M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1.
(1)证明：BM⊥AN.
(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.
20.(12分)已知双曲线x2-2y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|+|PF2|=4.
(1)求动点P的轨迹E的方程.
(2)若M是曲线E上的一个动点，求|MF2|的最小值，并说明理由.
21.（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
22.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=.
(1)求直线FM的斜率.
(2)求椭圆的方程.
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
参考答案
1.【解析】选B.由于x=2⇒x2=4，而x2=4x=2，所以“x2=4”是“x=2”的必要而不充分条件.
5.【解析】选D.由已知得双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为-=1(a>0，b>0)，由题意得
解得a2=4，b2=12，所以双曲线方程为-=1.
6.【解析】 ∵∀x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
7.【解析】选D.2a-b=(4，2n-1，2)，
由2a-b与b垂直知(2a-b)·b=-8+2n-1+4=0，得n=，
所以|a|===.
8.【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点F(2，0)，所以直线AB方程为y=-x+2，代入y2=8x得x2-12x+4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+4=12+4=16.
9.【解析】选B.建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，
B(1，2，0)，C1(0，2，2)，=(-1，0，2)，=(-1，2，1)，
cos<，>==.即异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
11.【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)>0，解得k>－1，且x1＋x2＝.由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2，故选C.
【答案】 C
15.答案 2
19.【解析】如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，
M(1，2，1)，N(2，1，0).
(1)=(2，1，0)，=(-1，2，1)，
所以·=0，所以⊥，即BM⊥AN.
(2)设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)，
=(2，4，-2)，=(0，4，-2)，
取y=1，得平面PCD的一个法向量为n=(0，1，2)，
设直线MN与平面PCD所成角为θ，则由=(1，-1，-1)，
得sinθ=|cos<，
n>|=
20.【解析】(1)F1(-，0)，F2(，0)，且|PF1|+|PF2|=4，
所以P点的轨迹E是以F1，F2为焦点的椭圆，且a=2，c=，b=1，所以轨迹方程为：+y2=1.
(2)设M(x，y)，则+y2=1，即y2=1-，
所以|MF2|==
==|x-2|，
因为M在+y2=1上，所以-2≤x≤2，故|MF2|=2-x，x∈[-2，2]，
于是|MF2|有最小值2-.
21.试题解析：（Ⅰ）在中，∵，
由正弦定理，得．
．
∵ , ∴， ∴ ．
∵，∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得且 ，
．
，． 的取值范围是．
22.【解析】(1)由已知有=，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y=k(x+c).
由已知，有+=，解得k=.
(2)由(1)得椭圆方程为+=1，直线FM的方程为y=，两个方程联立，消去y，整理得3x2+2cx-5c2=0，解得x=-c，或x=c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.
有==，
解得c=1，所以椭圆的方程为+=1.
(3)设点P坐标为，直线FP的斜率为t，得t=，
即y=t，
与椭圆方程联立消去y，
整理得2x2+3t2(x+1)2=6.
又由已知，得t=>，解得-<x<-1，或-1<x<0.
设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m2=-.
①当x∈时，有y=t(x+1)<0，因此m>0，于是m=，
得m∈.
②当x∈时，有y=t(x+1)>0，因此m<0，于是m=-，
得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.
