【数学】陕西省榆林市第二中学2018-2019学年高二下学期模拟（开学）考试（理）

陕西省榆林市第二中学2018-2019学年高二下学期模拟（开学）考试（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）    1．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是(　　)A．a∥b，a⊥b  　B．a∥b，a⊥c　　C．a∥c，a⊥b 　 D．以上都不对2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)A.　　  B．　　　　C．1　　　D．3．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为(　　)A．0  　　B．1　　　C．2  　　D．34.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040t5070根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为=6.5x+17.5，则t的值为（　　）A. 40 B. 50 C. 60 D. 705．已知平面α，直线lα，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件　  C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件6．如图给出的是计算1＋2＋4＋…＋219的值的一个算法框图，则其中判断框内应填入的是(　　)A．i＝19  B．i≥20   C．i≤19   D．i≤207．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．A、B、D　　B．A、B、C　　C．B、C、D　　D．A、C、D8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线x2－＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程是(　　)A.＋y2＝1  　　B.＋＝1　　C.＋＝1  　　D.＋＝19．四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F分别为PB，PD的中点，则P到直线EF的距离为(　　)A．1　　B．　　　C. 　　D．10．已知抛物线y2＝8x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为(　　)A．2x－y－4＝0　　B．2x＋y－4＝0　C．2x－y＋4＝0  D．2x＋y＋4＝011．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是(　　)A.　　B．　　C.　　D．12．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)A.　　　B．3　　　C.　　　D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．执行如下图所示的程序框图，则输出的k的值是        .       14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________．15．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝________．16．命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD＝AA1＝1，AB＝2.(1)求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；(2)求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．    18．(本小题满分12分)已知直线l：y＝x＋t与椭圆C：x2＋2y2＝2交于A，B两点．(1)求椭圆C的长轴长和焦点坐标；(2)若|AB|＝，求 t的值．    19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，且∠ACB＝90°，AC＝BC＝CP＝2.(1)求二面角B­AP­C的余弦值；(2)求点C到平面PAB的距离．       20.(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260）， [260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
 21．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．    22．(本小题满分12分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(－1，)在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.(1)求椭圆的标准方程；(2)当·＝，求k的值．
参考答案一、选择题1—5：CBBCB   6—10：BACDA     11—12： CA二、填空题13、5          14、＋＋          15、3          16、[－2，2 ]三、解答题17．(本小题满分10分)解：(1)证明：在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BC.因为底面ABCD是矩形，所以DC⊥BC.又DD1∩DC＝D，所以BC⊥平面DCC1D1.又BC平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面DCC1D1.(2)取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．因为AD＝AA1＝1，AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)．所以＝(0，－2，1)，＝(1，0，1)，所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线CD1与A1D所成角的余弦值是.18．(本小题满分12分)解：(1)因为x2＋2y2＝2，所以＋y2＝1，所以a＝，b＝1，所以c＝1，所以长轴为2a＝2，焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)．(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为消元化简得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，所以所以|AB|＝|x1－x2|＝，又因为|AB|＝，所以＝，解得t＝±1.19．(本小题满分12分)解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系．则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)．易得面PAC的法向量为n1＝(1，0，0)，＝(0，2，－2)，＝(2，0，－2)，n2＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，∴，即.可取n2＝(1，1，1)．∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.∴二面角B­AP­C的余弦值为.(2)d＝＝＝，∴点C到平面PAB的距离为.20.(本小题满分12分)解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．21．(本小题满分12分)解：(1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理，得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1·y2＝－1.∵A，B在抛物线y2＝－x上，∴y＝－x1，y＝－x2.∴y·y＝x1x2.∴kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0.令y＝0，则x＝－1，即N(－1，0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝·1·＝ .∵S△OAB＝，∴＝ ，解得k＝±.22．(本小题满分12分)解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，则＝1，即m2＝k2＋1.由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∴Δ>0⇒k2>0⇒k≠0，x1＋x2＝－，x1x2＝，∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，·＝x1x2＋y1y2＝＝，∴k＝±1.