【数学】吉林省梅河口市第五中学2019-2020学年高二上学期开学考试（文）（解析版）
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高二上学期开学考试（文）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
3．己知，则 ( )
A． B． C． D．
4．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．函数 的最小正周期是( )
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A．－ B． C． D．
8．已知函数 (,)的部分图像如图所示，则的值分别是( )
A． B．
C． D．
9．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．图像的对称中心是
B．在定义域内是增函数
C．是奇函数
D．图像的对称轴是
12．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①与平行 ②与是异面直线
③与成角 ④与是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．函数的定义域为_____．
14．如图所示，在三棱柱中，过的平面与平面的交线为，则与直线的位置关系为________.
15．已知向量，若，则_______．
16．设不等式的解集为，在区间上随机取一个实数，则的概率为_______．
三、解答题
17．已知，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
18．已知向量.
(1)已知且，求；
(2)若，写出的单调递减区间.
19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.
20．已知函数.
（1）求最小正周期；
（2）求在闭区间上的最大值和最小值.
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角B 的大小；
（2）若，的面积为，求的值．
22．已知向量.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，，若，求的周长.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由诱导公式一化简．
【详解】
．
故选B．
【点睛】
本题考查诱导公式，解题时要注意角的特点，确定选用什么公式．
2．B
【解析】由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，即，故选B．
考点：球的表面积.
3．C
【解析】
【分析】
先用诱导公式，再由二倍角余弦公式可求．
【详解】
．
故选C．
【点睛】
本题考查诱导公式，二倍角的余弦公式．三角函数的公式较多，要根据题意选取恰当的公式才能做到事半功倍，为此常常研究“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用的公式．
4．C
【解析】
【分析】
先化简得，再利用三角函数图像变换的知识得解.
【详解】
因为，
所以要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度．
故选：C
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
作出函数的图象可得出该函数的最小正周期。
【详解】
作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，函数的最小正周期为，故选：A。
【点睛】
本题考查三角函数周期的求解，一般而言，三角函数最小正周期的求解方法有如下几种：
（1）定义法：即；
（2）公式法：当时，函数或的最小正周期为，函数最小正周期为；
（3）图象法。
6．B
【解析】
【分析】
在分式的分子分母中同时除以，将等式转化为有关的方程，可解出的值。
【详解】
由题意可知，，解得，
故选：B。
【点睛】
本题考查正弦、余弦分式齐次式求值问题，关键是通过除法运算结合弦化切的思想求解，是常考题型，属于基础题。
7．B
【解析】
【分析】
首先观察两个角之间的关系：，因此两边同时取余弦值即可。
【详解】
因为
所以
所以，选B.
【点睛】
本题主要考查了三角函的诱导公式。解决此题的关键在于拼凑出，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可。
8．B
【解析】
【分析】
通过函数图像可计算出三角函数的周期，从而求得w，再代入一个最低点即可得到答案.
【详解】
, ，
又，
，，
又，，
故选B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像，通过周期求得w是解决此类问题的关键.
9．D
【解析】
【分析】
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式及二倍角公式即可计算得解．
【详解】
解：∵，
∴两边平方可得：，
∴ 即
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式及二倍角在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
10．B
【解析】
【分析】
根据题意，建立与的关系，即可得到夹角.
【详解】
因为，所以，则，则，所以，所以夹角为故选B.
【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.
11．A
【解析】
【分析】
根据正切函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】
．，
由得，，
的对称中心为，，故正确；
．在定义域内不是增函数，故错误；
．为非奇非偶函数，故错误；
．的图象不是轴对称图形，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了正切函数的图象与性质，考查了整体思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．
12．B
【解析】
【分析】
把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．
【详解】
把平面展开图还原原几何体如图：
由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误；
与平行，故②错误；
连接，则，为与所成角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；
由异面直线的定义可知，与是异面直线，故④正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．
13．
【解析】
【分析】
由函数的解析式有意义，得出，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，要使函数的解析式有意义，
自变量须满足：，解得，
故函数的定义域为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正切型函数的定义域，其中解答中熟记正切型函数的图象与性质，准确列出解析式有意义的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．平行.
【解析】
【分析】
先通过证明平面，再得到.
【详解】
在三棱柱中，
平面，平面，
平面.
又平面，且平面平面，
.
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理和性质定理，属于简单题.
15．
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标条件求解即可.
【详解】
由可得.
又，，
所以，解得.
【点睛】
本题考查向量平行的条件.若向量且，则，可记为“交叉相乘相等”.
16．
【解析】
【分析】
求解对数不等式得x的范围，再由测度比是长度比得答案．
【详解】
由log2x＜1，得0＜x＜2．
∴在区间[﹣3，5]上随机取一个实数x，则x∈D的概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查几何概型概率的求法，考查对数不等式的解法，是基础题．
17．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据向量数量积的性质可知，展开即可求出（Ⅱ）由可得，计算即可求出的值.
【详解】
（Ⅰ），
∴.
（Ⅱ）∵，
∴，
即，解得：.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的性质，向量垂直与数量积的关系，考查了运算能力，属于中档题.
18．（1）0；（2），.
【解析】
【分析】
（1）利用得到等式，代入数据化简得到答案.
（2）写出表达式，化简为标准形式，最后求单调递减区间.
【详解】
解：（1），，即，
（2）
的单调减区间为，.
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换和单调减区间，属于简单题.
19．（1）分别抽取人，人，人；（2）
【解析】
【分析】
（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.
【详解】
（1）第组的人数为， 第组的人数为， 第组的人数为，
因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽
取的人数分别为：第组: ；第组: ；第组: .
所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.
（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.
记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则
从名志愿者中抽取名志愿者有:
，，，，，，，，，，
，，，，，共有种.
其中第组的志愿者被抽中的有种，
答：第组的志愿者有被抽中的概率为
【点睛】
本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.
20．（I）；（Ⅱ）3,0.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先化简整理原式，通过周期公式即得答案；
（Ⅱ）先判断在上的增减性，从而可求出最大值和最小值.
【详解】
（Ⅰ）
所以的最小正周期.
（Ⅱ）因为在区间上是增函数，在区间上是减函数，
又，，,
故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变形，最值问题，意在考查学生的转化能力，分析能力以及计算能
力，难度不大.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简式子得到答案.
（2）利用余弦定理和面积公式得到方程组，解得答案.
【详解】
解：（1）因为
所以
所以
∴ ∴
（2）由得．
由余弦定理得
∴
【点睛】
本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积公式、二倍角公式、辅助角公式，化简可得，代入公式即可求得最小正周期。
（2）由，可得，结合正弦、余弦定理，可求得b，c的值，即可求解周长。
【详解】
解：（1）
所以的最小正周期.
（2）由题意可得，又，所以，
所以，故.
设角的对边分别为，则.
所以，又，所以
故，解得.
所以的周长为.
【点睛】
本题考查正余弦定理、辅助角公式的应用，三角函数的图像与性质，考查计算化简的能力，属基础题。
