【数学】四川省棠湖中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简的值为
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
3．已知直线与直线互相平行，则实数的值为
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．在△ABC中，点D在边BC上，若，则
A．+ B．+ C．+ D．+
5．已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则此正三棱锥的体积为
A． B． C． D．
6．设、、是三个不同平面，是一条直线，下列各组条件中可以推出的有
①， ②， ③， ④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．在中，若，则是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．已知直线恒过定点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最小值为
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为
A． B． C． D．
10．设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
11．在中，如果，则的大小为
A． B． C．或 D．或
12．在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点P在CD边上运动(如图甲)，现以AP为折痕将折起，使得点D在平面ABCP内的射影恰好落在AB边上(如图乙)．设二面角D-AP-B的余弦值为，则函数的图象大致是
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域是____________.
14．求值：=_______
15．已知，则__________．
16．中，，，且，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
17．（10分）化简或求值：
（1）；
（2）
18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点.
（1）若点的横坐标为，求的值.
（2）若将绕点逆时针旋转，得到角(即)，若，
求的值.
19．（12分）设数列的前项和为，已知.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求证的前项和.
20．（12分）某公司有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求的取值范围．
21．如图，已知四棱锥，侧面是正三角形，底面为边长2的菱形，，.
（1）设平面平面，求证：；
（2）求多面体的体积；
（3）求二面角的余弦值.
22．已知，．
（1）若函数在为增函数，求实数的值；
（2）若函数为偶函数，对于任意，任意，使得成立，求的取值范围.
参考答案
1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 9．B 10．B 11．A 12．D
13． 14． 15． 16．3
17．（1）由实数指数幂的运算性质，可得原式=；
（2）由对数的运算性质，可得原式=
==.
18．（1）在单位圆上，且点的横坐标为，则，，
.
（2）由题知，则则.
19．（1）因为，所以，故，
当时，，此时，
即，不合，所以.
（2）因为，所以.
当时，.
所以；
当时，，
所以，
两式相减，得
，所以.经检验，时也适合.
综上可得. ∴.
20．（1）由题意得：，
即，又，；
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，
，即恒成立，
函数在上是减函数，
函数的最小值为，.即的取值范围为.
21．证明：（1）因为平面平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以；
（2）取中点，连结，由得，
同理，又因为，所以平面，
在中，，所以，
所以多面体的体积
；
（3）由题意知，底面为边长2的菱形，，
所以，又，所以，
设的中点为，连结，
由侧面是正三角形知，，所以，
因此就是二面角的平面角，
在中，，，
由余弦定理得，
二面角的余弦值为.
22．（1）任取，则
函数在上为增函数，，则，
且，，
，，则，，
因此，实数的取值范围是；
（2）函数为偶函数，则，
即，即对任意的恒成立，
所以，解得，则，
由（1）知，函数在上为增函数，
当时，，
对于任意，任意，使得成立，
对于任意成立，
即（*）对于任意成立，
由对于任意成立，则，
，则，.
（*）式可化为，
即对于任意，成立，即成立，
即对于任意，成立，
因为，所以对于任意成立,
即任意成立，所以，
由得，所以的取值范围为.
