2020秋季五年级思维训练教材(无封面)

这是一份五年级上册综合与测试教案及反思，共47页。教案主要包含了÷5=15等内容，欢迎下载使用。
 五年级秋季思维训练教材
目录
第一周： 简便计算（一）
第二周： 解决问题（一）
第三周： 位置
第四周： 简便计算（二）
第五周： 解决问题（二）
第六周： 可能性
第七周： 简易方程
第八周： 列方程解应用题
第九周： 图形的分割与拼接
第十周： 组合图形的面积（一）
第十一周： 组合图形的面积（二）
第十二周： 行程问题（一）
第十三周： 平均数
第十四周： 植树问题（一）
第十五讲： 植树问题（二）



第一周 简便计算（一）
例1、 简便计算：1.312.584
解析：看到125就要想到8，看到25就要想到4，所以本题可以利用交换律和结合律进行简便计算
原式=（12.58）（1.34）
=1005.2
=520
例2、 简便计算：1.62.64+1.66.36+1.6
解析：观察算式，我们发现算式中的每个部分都有1.6，1.6可以写成1.61，因此，算式的结果是三个乘积的和，它们都有一个共同的因数，所以，很容易想到运用乘法分配律进行计算。
原式=1.6(2.64+6.36+1)
=1.610
=16
例3、 简便计算：4.26.7+6.71.2+3.35.4
解析：仔细观察这个算式，我们可以发现，前面的两个积可以运用乘法分配律进行简便计算，接着与第三个积也可以运用乘法分配律简便计算，
原式=（4.2+1.2）6.7+3.35.4
=5.46.7+3.35.4
=5.4（6.7+3.3）
=54
例4、 简便计算：3.65.4+7.22.3
解析：题目中的四个数看起来没有什么联系，似乎不能简便计算。仔细观察后，我们发现：7.2是3.6的2倍，2.3的2倍又可以和5.4组成10
因此，可以这样计算：
原式=3.65.4+（23.6）2.3
=3.65.4+3.6（22.3）
=3.65.4+3.65.4
=3.6（5.4+4.6）
=36
例4、 简便计算：2.3+2.7+3.1+……+12.7+13.1
解析：观察算式中的数据，不难发现。这就是等差数列，可以运用等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数÷2
接下来，我们首先要知道的是题目中小数有多少个，也就是项数。
项数=（末项—首项）÷公差+1
项数=（13.1—2.3）÷0.4+1，
所以原式=（2.3+13.1）28÷2
=15.414
=215.6




课后练习 （一）
1、2.52.10.42 2、12.5.642.5 3、1.25.2532





4、0.8765.5+37.50.87-30.87 5、3.97.6+3.92.4+3.9






6、6.21.11+26.2+6.26.89 7、3.10.75+0.756.2+9.30.25







8、8.632.3+7.75.21+3.427.7 9、3.7548+62.54.8






10、2.0167-10.67 11、32431+6208.8





11、0.1+0.3+0.5+……+19.7+19.9




第二周 解决问题（一）
例1、大象奔跑的速度大约每分钟500米，羚羊奔跑的速度是大象的4.2倍少
11米，羚羊每分钟跑多少米? 合多少千米？
解析：此类问题只需弄清楚谁是谁的几倍，已知条件是谁就可以，如已知大
象奔跑的速度，而羚羊奔跑的速度是大象的4.2倍少11米，可以知道
数量关系为 羚羊的速度=大象的速度×4.2+11
可以列式：500×4.2+11=2111米=2.111千米
例2、为鼓励居民节约用水,某市规定:每月用水量在10吨以内的,水价是每吨1.8元;超过10吨的部分,水价是每吨2.5元。小红家8月份用水14吨,应缴水费多少元?
解析：此类问题是分段计费的题型，只需弄清楚水的收费标准即可，如10吨以内水价是每吨1.8元；超过10吨的部分，水价是每吨2.5元，而小红家8月份的用水量是14吨，已经超过10吨，所以要将14吨水分成10吨和4吨进行分段计费，10吨的费用是1.8×10=18元，超出的4吨的费用是2.5×4=10元，所以小红家8月份的水费是
10×1.8+14-10×2.5=28元
例3、某市出租车的收费标准如下：3千米以内收8元，3千米以上每增加1
千米，再收2.4元，每乘车一次收燃油附加费1元。小明乘出租车行了
10千米，他应付多少元?
解析：出租车问题可以用分段计费的方法进行计算，一共行驶了10千米，可以分成3千米和7千米，7千米的费用7×2.4=16.8元，所以一共所需的费用是
8+10-3×2.4+1=25.8元
例4、为鼓励居民节约用水,某市规定:每月用水量在10吨以内的,水价是每吨1.8元;超过10吨但不超过16吨的部分,水价是每吨2.5元，超过16吨的部分，水价是每吨3.5元。小红家8月份用水20吨,应缴水费多少元?
解析：要求应缴水费多少元可以把20吨水分成三个部分进行计算，首先是10吨以内的部分，第二是在10吨和16吨之间的部分，第三部分是超过16吨的部分。
可以列式 10×1.8+16-10×2.5+20-16×3.5=47元




课后练习 （二）
1、工地上有两堆黄沙，第一堆重6.4吨，第二堆的重量是第一堆的2倍多
0.8吨，第二堆黄沙有多少吨？



2、在地球上重1千克的物体，到月球上的重量约是0.16千克，红红的体重
是34.5千克，如果到月球上，她的体重约是多少千克？（得数保留一位小数）




3、某市出租车的起步价是7元(路程在3km以内),超过3km的路程,每千米
2.4元(不足1km按1km计算)。小华家到体育馆大约4.5km,坐出租车应
该付多少钱?





4、为鼓励居民节约用水,某市规定:每月用水量在10吨以内的,水价是每吨1.8元;超过10吨的部分,水价是每吨2.5元。小红家8月份用水14吨,应缴水费多少元?





5、某市出租车收费标准如下:
里　程
收费标准(不足1km按1km计算)
3km以内
7元
3km以上
每增加1km,再收2.4元
小明乘出租车行了6.5km,应付多少元?








第三周 位置
例1、小军坐在教室的第3列第4行，用（3，4）表示，小红坐在第1列第6行，用（ ， ）来表示，用（5，2）表示的同学坐在第（ ）列第（ ）行。
解析：根据小军的位置可知小红的位置可以用（1,6）来表示，（5,2）表示的同学坐在第5列第2行。
例2、如下图：A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（ ， ），
C点用数对表示为（ ， ），三角形ABC是（ ， ）三角形。
解析：根据A点所表示的位置，B点可以用数对表示为（5,1），C点用数对表
示为（3,3），三角形ABC是等腰直角三角形。
例3、请你在右面的方格图里描出下列各点,并把这几个点顺次连接成一个封闭图形,你能发现什么?
A（2,1） B（7,1） C（4,4） D（9,4）

解析： 可以直接将点描出，可知是一个平行四边形

例4、音乐课,聪聪坐在音乐教室的第4列第2行,用数对(4，2)表示,明明坐在聪聪正后方的第一个位置上,明明的位置用数对表示是( )
解析：根据已知条件明明坐在聪聪的正后方的第一个位置上，可以用数对表示（4,3）
例5、下面是某校教学大楼的平面图，以层数为行，每层的教室为列，每一层为一个年级的5个班级。
第6行
六（1）
六（2）
六（3）
六（4）
六（5）
第5行
五（1）
五（2）
五（3）
五（4）
五（5）
第4行
四（1）
四（2）
四（3）
四（4）
四（5）
第3行
三（1）
三（2）
三（3）
三（4）
三（5）
第2行
二（1）
二（2）
二（3）
二（4）
二（5）
第1行
一（1）
一（2）
一（3）
一（4）
一（5）

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
（1） 用数对表示二年级各班的位置。
二（1）
二（2）
二（3）
二（4）
二（5）
（ ， ）（ ， ）（ ， ）（ ， ）（ ， ）
（2） 某班的位置是（x，4），可能是哪几个班？
（3） 某班的位置是（4，x），可能是哪几个班？
（4）用数对表示你所在班的位置。
解析：（1）从图中可知二年级各班的位置为
（1,2） （2,2） （3,2） （4,2） （5,2）
（2）某班的位置是（x，4），说明是在第4行，所以只要是第四行的班级都有可能，分别是四1、四2、四3、四4、四5
（3）某班的位置是（4，x），说明是在第4列，所以可能的班级为
一4、二4、三4、四4、五4、六4
（4）可以根据自己实际情况作答



课后练习 （三）
1、刘强和王兵在教室里的位置可以用点（4，1）和点（2，7）表示，（4，1）中的4表示第4列，则1表示（ ），（2，7）表明王兵坐在第（ ）列第（ ）行。
2、如下图：如果点X的位置表示为（2，3），则点Y的位置可以表示为（ ）。

3、如图是游乐园的一角。
⑴如果用（3，2）表示跳跳床的位置，你能用数对表示其他游乐设施的位置吗？请你写出来。
⑵请你在图中标出秋千的位置.秋千在大门以东400m,再往北300m处。







4、先写出三角形ABC各个顶点的位置，再画出三角形ABC向下平移4个单位后的图形△A'B'C'，然后写出所得图形顶点的位置。
A’（ ， ） B’（ ， ） C’（ ， ）

5、⑴ 猴山的位置用（5，2）表示，请你在图上标出金鱼湖（6，6）、盆景园（3，8）、北门 （2，10）的位置。

⑵暑假，小明一家游览了公园，活动路线是（10，1）→（5，2）→
（7，4）→（9，7）→（6，6）→（3，8）→（2，10）。请你写出并画出
他们的游览路线。



第四周 简便计算（二）
例1、16.15÷1.8+1.85÷1.8
解析：如果按照运算顺序，就要用到笔算，所以可以选择另外的方法，因为这两个数都是除以同一个数1.8，所以我们可以将16.15与1.85的和除以1.8
原式=（16.15+1.85）÷1.8
=18÷1.8
=10
例2、1÷1.25÷0.25÷32
解析：一般情况下，看到125就要想到8，看到25就要想到4，因此在例题中很容易知道应该把32变成32=4×8 我们先将32分成4×8，然后将1.25与8相乘，0.25与4相乘。
原式=1÷1.25÷0.25÷（4×8）
=1÷（1.25×8）÷（4×8）
=1÷10÷1
=0.1
例3、下面有两个小数:
a=0.00…0125 b=0.00…08

1996个0 2000个0
试求a+b, a-b, ab, ab.
解析：a+b,a的小数点后面有1998位,b的小数点后面有2000位,小数加法要求数位对齐,然后按整数的加法法则计算,所以
a+b=0.00…012508 = 0.00…012508

2000位 1996个0

,方法与a+b一样,数位对齐,还要注意退位和补零,因为
a=0.00…0125，b=0.00…08,由12500-8=12492，所以

1998位 2000位

a-b=0.00…12492=0.00…012492

2000位 1996个0

ab,ab的小数点后面应该有1998+2000位,但1258=1000,所以
ab=0.00…01000 = 0.00…01

1998+2000位 3995个0

ab,将a、b同时扩大100…0倍，得

2000个0

ab=125008=1562.5


课后练习 （四）
1、15.26÷3.5+9.24÷3.5 2、150.15÷1.5



3、7.6÷1.4+6.3÷1.4+2.9÷1.4





4、10÷4÷12.5 5、1800÷12.5÷2.5÷3.2






6、1÷0.125+2÷0.25+3÷0.5





7、下面有两个小数:
a=0.00…0126 b=0.00…08

1996个0 2000个0

试求a+b a-b a×b a÷b












第五周 解决问题（二）
例1、甲、乙两个数的差是7.92，把乙数的小数点向右移动一位正好等于甲数。
求甲、乙两数各是多少？
解析：把乙数的小数点向右移动一位正好等于甲数，说明甲数是乙数的
10倍，而两数的差是7.92，可以利用差倍问题进行计算
乙： 7.92÷10-1=0.88
甲： 0.88×10=8.8
例2、王师傅2.5小时生产40个零件，平均每小时生产几个零件?平均生产1个零件需多少小时?
解析：要求平均每小时生产几个零件可以用总的零件数除以所用时间
40÷2.5=16个
要求平均生产一个零件需要多少小时，可以用总时间除以总个数
2.5÷40=0.0625小时
例3、工地上有两堆黄沙，第一堆重6.4吨，比第二堆的2倍多0.8吨，第二堆黄沙有多少吨？
解析：要求第二堆黄沙有多少吨可以根据第一堆比第二堆的2倍多0.8吨计算，数量关系为 第一堆=第二堆×2+0.8
已知第一堆重6.4吨，那么第二堆的2倍应该是6.4-0.8，所以第二堆的重量为 6.4-0.8÷2=2.8吨
例4、现在苹果32吨，如果东风牌汽车每次只能运5吨，32吨苹果要几次才能运完？（提示：在运送货物时，最后一次所剩的货物无论是多少，都必须运送。因此，在这种情况下，需要使用“进一法”）
解析：要求几次运送完可以用总的重量除以每次能运的重量
32÷5=6.4次 这里要求全部运完，所以要用进一法
6+1=7次




例5、现有布料60尺，若做一套衣服需布料16尺，60尺布料可做几套衣服？（提示：如果余下的布料不够做成一套衣服的，就不能严格按照“四舍五入”法计算，这种情况下可考虑“去尾法”）
解析：要计算可以做几套衣服可以直接用总的布料除以每套所需布料
60÷16=3.75套 考虑剩下的布料不能做成一套衣服所以只能舍去
也就是只能做3套
例6、一个地下停车场的收费标准是这样的：
1小时以内收3.5元；超过1小时，每0.5小时收2.5元。
陈叔叔在这个停车场停车花了11元，他停了多少小时？
解析：根据陈叔叔花了11元可以发现停的时间已经超过1小时，所以多花的钱是每0.5小时2.5元
那么可以得到 11-3.5÷2.5=3，这个3表示的是有3个0.5小时，所以一共停了3×0.5+1=2.5小时

例7、为鼓励居民节约用水,某市规定:每月用水量在10吨以内的,水价是每吨1.8元;超过10吨但不超过16吨的部分,水价是每吨2.5元，超过16吨的部分，水价是每吨3.5元。小红家8月份上缴水费47元，问她家这个月用水多少吨
解析：水费是47元可以发现用水量已经超过16吨，因为16吨以内包括16吨的费用为10×1.8+6×2.5=33元，所以超过16吨的部分的费用应该是47-33=14元，所以超过的部分为 14÷3.5=4吨
可以列式为（47-10×1.8-6×2.5）÷3.5=4吨
所以一共用水 10+6+4=20吨





课后练习（五）
1、甲乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数，你知道
甲数、乙数各是多少吗？



2、一只足球的价钱是46.8元，比一只排球的价钱的3倍多1.2元，你知道一只排球多少钱？



3、兔子0.5小时可以跑22.5千米，兔子每小时跑多少千米？，它跑1千米需多少小时？



4、一瓶油连瓶重3.4千克，用去一半后，连瓶还重1.9千克。原来有油多少千克？瓶重多少千克？



5、三人共借七本书，每本的借阅费是1.50元，平均每人要付借阅费多少元？




6、每个油箱最多可以装油4.5千克，要装60千克的油，需要这样的油桶多少个？



7、有一种米袋，最多能装大米2.6千克，要装40千克大米，需要这种米袋多少个？




8、一件衬衫要钉6粒纽扣，现有100粒纽扣，能钉多少件衬衫？





9、一堆煤重18.5吨，平均每次运2.5吨，一共需要运多少次？




10、某市出租车的收费标准如下：3千米以内收8元，3千米以上每增加1千米，再收2.4元，每乘车一次收燃油附加费1元。小明乘出租车行了10千米，他应付多少元。小张乘出租车从家到单位要付28.2元，小张家到单位大约多少千米？



11、为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按每吨1.2元收费，超过15吨的部分按每吨3.5元收费。欢欢家上月缴水费28.5元，欢欢家上月用水多少吨？







第六周 可能性
例1、一个盒子里面装了6个黄球，4个红球，2个蓝球，摸到（　　）可能性大．
A．蓝球 B．黄球 C．红球
解析：6+4+2＝12（个）
摸到黄球的可能性是6÷12＝，摸到红球的可能性是4÷12＝，摸到蓝球的可能性是2÷12＝
＞＞
所以摸黄球的可能性大．选B
例2、盒中有除颜色外都相同的黑色小球9个，白色小球2个．小明从盒中任意取出1个小球，取出哪种颜色小球的可能性大？选择“经常”“偶尔”“不可能”填空：
（1）　 　取出红色小球．
（2）　 　取出黑色小球．
（3）　 　取出白色小球．
解析：（1）不可能取出红色小球．
（2）经常取出黑色小球．
（3）偶尔取出白色小球．
所以答案为：不可能，经常，偶尔
例3、一个口袋里有5个球，分别是1个红球、1个蓝球、3个绿球，球的大小完全相同．从口袋里摸出1个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？说说理由．
解析：因为3＞1
口袋里绿球的个数最多，红球和蓝球的个数最少，
所以摸到绿球的可能性最大；
所以摸到绿球的可能性最大．



例4、国庆节期间，便民超市举办有奖销售活动．顾客购物满100元即可参加摸奖活动．下面两个箱子里放有①～⑥号乒乓球各10个，摸奖公告如下：

（1）王阿姨正在摸奖，请你猜一猜她最有可能获得什么？
（2）壮壮说：“这次摸一等奖的可能性比摸二等奖的可能性大．”你认为他说的对吗？
为什么？
解析：两个箱子放有1～6号球各6个，顾客从两个箱子中各摸出一个球，摸出数字和如果如下表：

摸到和为2或12占，3或11占，4或10的，5或9占，6～8占
＜＜＜＜
（1）所以王阿姨最有可能获得纪念奖；
（2）摸一等奖的可能性，摸二等奖的可能性是，＜，摸一等奖的可能性比摸二等奖的可能性要小；所以壮壮的说法不对．

课后练习 （六）
1、盒子里有20个大小一样的珠子，其中有15个是白色的，5个是红色的，任意取一个，取出（　　）色珠子的可能性大．
A．白 B．红 C．黄 D．黑
2、笑笑和淘气玩“剪刀、石头、布”游戏，下面说法中正确的是（　　）
A．笑笑一定胜 B．淘气一定胜 C．淘气可能胜
3、 口袋里有大小相同的5个红球，4个黄球和1个白球，从中任意摸出一个球，摸出　 　球的可能性大；从中任意摸出两个球，可能出现　 　种情况．
4、盒子里有白、红、蓝三种颜色的小球，淘气摸了50次情况如下：摸到白球29次，红球15次，蓝球6次．根据记录表的数据推测，盒子里　 　颜色的球最多．
5、任意摸一个球，要使摸到红球的可能性，袋中可以放　　个红球，放　 　个黄球．还有其他放法吗？
6、一个口袋里有5个球，分别是1个红球、1个蓝球、3个绿球，球的大小完全相同．从口袋里摸出1个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？说说理由．

7、每次摸1个球，在每个口袋里都摸30次，结果会怎样？你能用线连一连吗？

8、（2016秋•德江县期末）转动转盘，使指针停在红色区域的可能性为，停在蓝色区域的可能性为，停在黄色区域的可能性为．转盘上的颜色应该怎样涂？试试看．

第七周 简易方程
例1、徒弟每小时能加工a个零件，师傅每小时加工的零件个数比徒弟的3倍多2个．下列选项中表示“师傅每小时比徒弟多加工几个零件”的是（　　）
A．3a+2 B．3a+2+a C．3a﹣2﹣a D．3a+2﹣a
解析：根据已知条件可得师傅每小时加工3a+2个，所以答案选D
例2、如果一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，那么这个两位数是（　　）
A．nm B．10m+n C．10n+m
解析：十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一，所以答案选C

例3、东方小学六年级有4个班，每班a人，五年级有b个班，每班45人。
（1） 4a＋45b表示
（2） a-45表示
（3） 4a÷45b表示
解析：1、4a＋45b表示六年级和五年级的总人数。
2、a-45表示六年级比五年级每班多几人。
3、4a÷45b表示六年级人数是五年级人数的几倍。

例4、小芳有a本漫画书，小红的本数比小芳的2倍多3本，求小红有几本漫画书？
解析：根据已知条件可得 小红的本数=小芳的本数×2+3
所以小红的本数=2a+3

例5、小芳有a本漫画书，比小红的本数的2倍多3本，求小红有几本漫画书？
解析：根据已知条件可知 小红的本数=小芳的本数×2+3
所以小红的本数=（a-3）÷2



例6、解下列方程：
1、73.2－x=52.5 2、 9÷x=0.03
解：73.2－x+ x =52.5+ x 解：9÷x×x=0.03×x
73.2 =52.5+ x 9 =0.03 x
52.5+ x =73.2 0.03 x =9
x =73.2-52.5 x =9÷0.03
x =20.7 x =300
3、3×(x－4)=48 4、(8+x) ÷5=15
解： （x－4）=48÷3 解： (8+x)=15×5
x－4 =16 8+x=75
x=20 x=67
5、12x+8x=40 6、x－0.2x=32
解： 20x=40 解： 0.8x=32
x=2 x=40
7、 4x-0.8=2x+2.4 8、 4.5-x=2.5+x
解：4x-0.8-2x =2x+2.4-2x 解：4.5-x+x=2.5+x+x
2x-0.8=2.4 4.5 =2x+2.5
2x=3.2 2x+2.5=4.5
x=1.6 2x=2
x=1










课后练习 （七）
1、赵欣今年x岁，爸爸今年的年龄是赵欣的4.5倍。4.5x表示(　　　　　　　)；4.5x－x表示(　　　　　　　　　　　　)。
2、三个连续的自然数，其中最小的一个是m，其余两个数分别是(　　　)和(　　　)，这三个数的和是(　　　)。
3、甲数是a，比乙数的5倍少10，表示乙数的式子是(　　　　　)。
4、甲数x是乙数的2倍，甲、乙两数的和是(　　　)。
5、小明今年m岁，小刚今年（m+4）岁，5年后，他们相差（　　）岁．
A．4 B．5 C．m+5 D．9
6、下列式子可以表示m与n的差除以它们的和的是　 　，表示m与n的差除它们的和是　 　
A．m﹣n÷m+n B．（m﹣n）÷m+n C．（m﹣n）÷（m+n） D．（m+n）÷（m﹣n）
7、解下列方程
0.5x+8=43 78-5x=28 5x+5=15






6x-3x=18 1.5x+18=3x 0.273÷x=0.35







12x-8x=4.8 25000+x=6x (200-x)÷5=30









4(x-5.6)=1.6 25-5x=15 (27.5-3.5)÷x=4






7(x-2)=2x+3 12x=300-4x 30÷x+25=85





5.9－9.8＋4X=66.14 (16＋X)×8=624 5.5X－1.3X=12.6




(0.5+x)+x=9.8÷2 5×3-x÷2=8 48-27+5x=31




(x-140)÷70=4 5.6 X－8.6=19.4 3.2 X－1.5 X=0.51








第八周 列方程解应用题
例1、甲、乙两车从相距388千米的两地同时出发，向对方驶去，4小时后相遇，已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？
解析：我们可以设乙车每小时行x千米，那么乙一共行驶4小时的路程为4x
而甲行驶4小时的路程为4×45，而且甲的路程+乙的路程=388千米
解：设乙车每小时行x千米，可列方程
4x+4×45=388
4x=388-180
4x=208
x=52
例2、果园里种有桃树和杏树两种树，共430棵，桃树的棵树比杏树的3倍还多10棵，果园里有桃树和杏树各多少棵？
解析：这道题有两个未知数，我们可以解设杏树为x棵，那么桃树的棵树是
（3x+10）棵，再根据桃树和杏树共430棵，那么有桃树+杏树=430
解：设杏树有x棵，那么桃树有（3x+10）棵。可列方程
x+3x+10=430
4x =420
x =105
桃树=105×3+10=325棵
例3、弟弟有22元钱，哥哥有152元钱，哥哥给弟弟多少元钱后，哥哥的钱是弟弟的2倍？
解析：假设哥哥给了弟弟x元钱后，那么，弟弟有（22+x）元，哥哥有
（152—x）元，这时，哥哥的钱是弟弟的2倍，所以
弟弟的钱×2=哥哥的钱
解：设哥哥给弟弟x元。
（22+x）×2=152-x
44+2x =152-x
3x =108
x =36
例4、御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，御苑小学五(3)班有多少名学生?
解析：这里一共有两个未知数，可以解设学生有x名，那么礼物总价值为
（8x-84）元，还可以是（6x+12）元，可列方程
解：设学生有x名
8x-84=6x+12
2x=96
x=48

例5、胜利大队粮库里的大米是面粉的2倍，现在用卡车运走，每辆卡车装4吨大米和3吨面粉，当面粉运完时，还剩2 0吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨?
解析：虽然要求的是大米和面粉，但是这里需要解设的是卡车的数量，解设卡车有x辆，那么大米有（4x+20）吨，面粉有3x吨，再根据大米的质量是面粉的2倍列出方程
解：设卡车有x辆
4x+20=2×3x
2x=20
x=10
大米的质量为4×10+20=60吨
面粉的质量为3×10=30吨









课后练习 八
1、小明买2支钢笔和3本日记本，共用去29.3元，每枝钢笔12.4元，每个笔
记本多少元？



2、钢笔比铅笔价格的5倍少0.1元，每枝钢笔4.4元，每枝铅笔多少元？



3、甲乙两列火车分别从相距480千米的两地同时开出，3小时相遇，甲车每小时行85千米，乙车每小时行多少千米？



4、用72cm的铁丝做一个长方形框架，要使长是宽的2倍，这个长方形框架的长和宽分别各是多少？



5、水果店运来一批水果，运来的苹果比梨多720千克，苹果的重量是梨的1.8倍，苹果和梨各是多少千克？



6、A、B两地相距600千米，甲、乙两车分别从两地同时开出，相对而行，甲车每小时行80千米，乙车每小时行70千米，经过几小时两车相遇？


7、爸爸带一些钱去买酸奶，如果买1 O瓶就剩下4元，如果买12瓶同样的酸奶则差5.2元。问：每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱？




8、某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐60人，则有20人没有座位；如果每车多坐5人，则有一辆车空出45个座位。请问：一共有多少辆公交车?五、六年级去秋游的学生一共有多少人?





9、甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出2000册，乙书店购入1000册，这时乙书店的册数是甲书店的2倍。问：甲、乙两书店原来共存书多少册?





10、一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的1．5倍，如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小18，求原来的数。






11、甲每分钟走‘50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A地出发，丙从B地出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲，求A、B两地的距离。











第九周 图形的分割与拼接
　　怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。
　例1、请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
　　解析：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。
　　方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。

　　方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。
　　方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。

　　方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。
　　前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。
　例2、将右图分割成五个大小相等的图形。

　解析：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于
15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有和两
种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。

例3、右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

解析：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。

例4、用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。

　解析：右图所示的三角板，∠A是直角，∠B+∠C=90°。因为要拼的图形有内外两个正方形，所以有将∠A作为外正方形的角（左下图）和拼内正方形的角（下中图）两种情况。若三角板可以重叠放置，还有右下图所示的拼法。

 






课后练习 （九）
1、试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。




2、用四种方法将左下图分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。



　
3、将右上图分成四个大小相等、形状相同的图形。
　




4、将下图分成两块，然后拼成一个正方形。








第十周 组合图形的面积（一）
专题简析：
在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1．两个三角形等底、等高，其面积相等；
2．两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
3．两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
例1、如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

解析：按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即
得所求面积。其实，只要连接AC，显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。
面积是：6×3÷2=9平方厘米。
例题2、下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。

解析：三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。阴影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。


例题3、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）

解析： 1．因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6平方厘米。
2．因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO的长度是OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘米。
例题4、在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

解析：（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍，是20×（1＋3）=80平方厘为；
（2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半，是80÷2=40平方厘米。因此，三角形ABC的面积是80＋40=120平方厘主。




课后练习 （十）
1、求下图中阴影部分的面积。

2、求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

3、下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。

4、下图中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。

5、图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的
6、图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。

7、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

8、下图梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？

9、如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE的面积。





第十一周 组合图形的面积（二）
例1、小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。

解析：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。
　　 又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出
　　 大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），
　　 小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。
　　 两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。
　 　102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。
例2、如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。

　　解析：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。
　　 两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。
例3、如左下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米2，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。

　解析：a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米（见右上图）。大三角形的面积与a，b的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为　　20×a÷2和20×b÷2。
　　 因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有
　 　20×a÷2+20×b÷2=140，
　　 10×（a+b）=140，
　　 a+b=14（厘米）。
例4、如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米2，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。

　解析：想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB（见右上图）。
　　 因为CA=AF，所以三角形ABC与三角ABF等底等高，面积相等。因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（厘米2）。
　 　同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米2。
　 　所以三角形DEF的面积等于20×3+10=70（厘米2）。
例5、一个正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725厘米2，求剩下的长方形的面积。
解析：根据已知条件画出下页左上图，其中甲、乙、丙为截去的部分。

　　由左上图知，丙是长15厘米、宽10厘米的矩形，面积为15×10=150cm2
　　因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于
　　 （甲+丙）+（乙+丙）
　　 = 甲+乙+丙）+丙
　 　= 1725+150
　　 = 1875（厘米2）。
　　 所以原正方形的的边长等于1875÷25=75（厘米）。剩下的长方形的面积等于75×75-1725=3900（厘米2）。
　











课后练习 （十一）
1、等腰直角三角形的面积是20厘米2，在其中做一个最大的正方形，求这个正方形的面积。




2、如左下图所示，平行四边形ABCD的周长是75厘米，以BC为底的高是14厘米，以CD为底的高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。




3、如右上图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80米2，正方形水池的面积是多少平方米？





4、如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28厘米2，梯形的上底长是多少厘米？　

　


5、如下图，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面积是1，
三角形ABC的面积是多少？


6、一个长方形的周长是28厘米，如果它的长、宽都分别增加3厘米，那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米？




7、如下图所示，四边形ABCD的面积是1，将BA，CB，DC，AD分别延长一倍到E，F，G，H，连结E，F，G，H。问：得到的新四边形EFGH的面积是多少？












第十二周 行程问题（一）
例1、客车和货车同时分别从两地相向而行，货车每小时行85千米，客车每小时行90千米，两车相遇时距全程中点8千米。两地相距多少千米？
解析：根据题意两车相遇时货车行了全程的一半少8千米，客车行了全程的一半多8千米，也就是说客车比货车多行了16千米，而客车比货车每小时多行90-85=5千米，那么我们可以先求出两车的相遇时间
相遇时间 8×2÷90-85=3.2小时
两地距离 90+85×3.2=560千米
例2、甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，甲带着一条狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝着甲这边跑，碰到甲的时候，它又掉头朝着乙这边跑。直到两人相遇时，这只狗一共跑了多少千米？
解析：要求两人相遇时这只狗一共跑了多少千米，只需知道两个条件，狗的速度以及狗跑的时间，根据题意可以得到狗与甲乙两人是同时出发并且同时停止，也就是说两人的相遇时间就是狗跑的时间，所以只要先求出两人的相遇时间
相遇时间 100÷6+4=10小时
狗跑的距离 10×10=100千米
例3、小明和小丽两人分别从两地同时相向而行，8小时可以相遇；如果两人每
小时都少行1.5千米，那么10小时相遇。两地相距多少千米？
解析：两人每小时都少行1.5千米，那么10小时相遇，如果以这样的速度行8小时，这时两人要比原来少行1.5×2×8=24千米，这24千米两人还需行驶10-8=2小时，所以两人现在的速度和24÷2=12千米/小时
综合算式 1.5×2×8÷10-8×10=120千米



例4、陈丹和林龙分别以不同的速度在周长为500米的环形跑道上跑步，林龙的速度是每分钟180米。如果两人从同一地点同时出发，反向跑步，75秒时第一次相遇，求陈丹的速度？若两人以上面的速度从同一地点同时出发同向而行，陈丹跑多少圈后才能第一次追上林龙？
解析：第一个问题，两人相遇，也就是合起来走了一个全程，因此陈丹速度为 500÷75÷60-180=220（米/分） 。
第二个问题，陈丹第一次追上林龙，也就是比林龙多跑一圈，所以
500÷220-180=12.5分 220×12.5÷500=5.5圈

例5、A、B两车同时从甲、乙两地相对开出，第一次在离甲地95千米处相遇，相遇后两车继续以原速行驶，分别到达对方站点后立即返回，在离以地55千米第二次相遇。求甲、乙两地之间的距离是多少？
解析：根据题意可知两车从出发到第一次相遇一共走了一个全程，而这时A车行驶了95千米，从出发到第二次相遇，两车一共行了三个全程，由于速度都不变，那么A车应该行了95×3=285千米。
可以知道A车行了一个全程还多55千米，那么甲、乙两地之间的距离是285-55=230千米
综合算式 95×3-55=230千米










课后练习 （十二）
1、甲、乙两车同时分别从两地相向而行，甲每小时行75千米，乙每小时行
83千米，两车相遇时距全程中点12千米。两地相距多少千米？



2、甲、乙两地相距300千米，客车从甲地开往乙地，每小时行40千米，1小时后，货车从乙地开往甲地，每小时行60千米。货车出发后几小时与客车相遇？



3、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，2小时可以相遇；如果两人每小时都比原来少走2.5千米，需3小时相遇。A、B两地相距多少千米？



4、客车和货车分别从两地同时相向而行，2.5小时相遇；如果两车每小时都比原来多行10千米，则2小时就相遇了。求两地相距的距离？











第十三周 平均数
专题简析
把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的输就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？
下面的数量关系必须牢记：
平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
例1
某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3，被改的数原来是多少？
分析解答： 原来三个数的和是2×3=6，后来个数的和是3×3=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4，因此，原来的数应该是4-3=1。
3×3-2×3=3
4-3=1
答：被改的数原来是1。
随堂练习：
1、已知九个数的平均数是72 ，去掉一个数后，余下数的平均数是78，去掉的数是多少？
2、有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少？

例2
把五个数从小到大排列，其平均数时38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？
分析解答： 先求五个数的和：38×5=190。在秋初前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：48×3=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。
27×3+48×3-38×5=35
答：中间一个数是35。
随堂练习：
1、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲乙的平均年龄是18岁，乙丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？

2、十名参赛者平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？

课后练习（十三）
1、化肥厂在一星期前3天平均每天生产化肥250吨，后4天共生产化肥1126吨， 这个星期平均每天生产化肥多少吨？



2、修一条渠，第一天修3小时，平均每小时修4.5千米;第二天修5小时,平均每小时修5.3千米,这两天平均每天修多少千米?平均每小时修多少千米?



3、三个小组采集树种,第一小组10人,一天采集树种180千克;第二小组12人,一天采集树种240千克;第三小组13人,一天采集树种280千克.平均每人采集 树种多少千克?



4、张红前三次数学测验平均成绩是92分,第四次得了96分.他四次的平均成绩是多少分?



5、兴华小学四年级有3个班,一、二班的平均人数是55人,二、三班的平均人数是56人,一、三班的平均人数是52人,问这三个班各有多少人?




6、甲、乙两地相距161千米。汽车从甲地到乙地用了3小时，从乙地返回甲地时，比去时多用了1小时，这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？



7、九个数的平均数是72，去掉一个数后，余下的数的平均数是78，去掉的数是多少？




第十四周 植树问题（一）
知识要点：总距离=棵距×间隔数 棵距=总距离÷间隔数
间隔数=总距离÷棵距
1、两端都种：棵数=间隔数+1
2、两端只种一端（封闭图形）：棵数=间隔数
3、两端都不种：棵数=间隔数－1

例1、实验小学内的一条绿荫小路长168米，总务处决定在路的一旁每隔7米种一棵树。那么，一共需要种多少棵树？
解析：根据题意可知总距离是168米，棵距是7米，所以可以求出间隔数是
168÷7=24（个）
因为是从头种到尾所以是两端都种的情况，植树的棵数等于间隔数+1
可以列出算式168÷7+1=25棵
例2、一个池塘一周长300米，沿池塘周围每隔15米栽一棵水杉树，那么池塘周围一共栽了多少棵树？
解析：根据题意可知总距离是300米，棵距是15米，所以可以求出间隔数是
300÷15=20个
由于池塘是一个封闭图形，所以棵数等于间隔数
可以直接列出算式 300÷15=20棵
例3、美美家的时钟3点敲3下，6秒钟敲完；6点钟敲6下，几秒钟敲完？
解析：根据题意可以知道，时钟敲3下，中间有3-1=2个间隔，2个间隔用了6秒钟，由此可见，每个间隔花了6÷2=3秒
同理，时钟敲了6下，中间有6-1=5个间隔，因此，需要的时间就是5个3秒，所以，容易求出几秒钟敲完。
6÷3-1=3秒
3×6-1=15秒








课后练习（十四）
1、校园里有一段长180米的绿荫小路，在路的一侧栽松树，每隔12米栽一棵。
一共可以栽多少棵松树？




2、河岸边有一条大道，全长360米，在大道的一边栽树，每隔15米栽一棵，
如果一端栽树，一端不栽，一共栽了几棵树




3、某市的育才路长1200米，市政府准备在道路的一边每隔25米竖立一块广告牌，道路的末尾不需要。那么，一共要准备多少块广告牌？





4、一条公路长200米，计划在公路的两边栽22棵树，两端都种。平均每两棵树之间有多少米？





5、国庆节前夕，工作人员在七一桥的两侧栏杆上插彩旗，从头到尾一共插了26面，每两面彩旗之间都相距18米。这座七一桥长多少米？





6、桃园小学操场上有一条长是270米的环形跑道，现在每隔15米插了一面彩旗。这个环形跑道共需要插多少面彩旗？




十五周 植树问题（二）
例1、朱叔叔要到世纪大厦的二十层去上班。有一天因电路检修，他步行上楼，他从一层到六层用了90秒，如果用同样的速度走到二十层，他还需要多少秒？
解析：朱叔叔从一层到六层爬了五层楼梯，用了90秒，可以先求出爬一层楼梯的时间；而从一层走到二十层一共要走十九层楼梯，再求爬出十九层的时间，减去前面的时间，就知道还需要多少秒。
朱叔叔爬一层楼梯的时间 90÷（6-1）=18秒
朱叔叔从一层爬到二十层的时间 18×20-1=342秒
还需要的时间 342-90=252秒

例2、公路两旁距离均匀地栽有一批杨树。清晨，殷伯伯以同一速度在公路一侧跑步，从第1棵树跑到第7棵树用了3分钟，他准备跑到第25棵树时返回。殷伯伯往返跑步需要多少分钟？
解析：我们知道，殷伯伯从第1棵树跑到第7棵树一共跑了7-1=6个间隔，可以知道1分钟跑多少段间隔；然后再考虑到第25棵树时跑了多少段间隔，需要多少分钟；最后计算出殷伯伯往返跑步需要多少分钟。
7-1÷3=2段
25-1=24段
24÷2×1=12分钟
12×2=24分钟
例3、五年级的222名同学排成两路纵队（也就是两个人一排），去工人电影院
看电影。已知每相邻的两排之间相隔50厘米，这支队伍长多少米？
解析：一共有222名同学，每两人一排，因此有222÷2=111排，这相当于两端都种的植树问题，因此，一共有111－1=110段间隔。又知道每相邻两排之间相隔50厘米，可以求出这支队伍的长度。
（222÷2－1）×50=110×50=5500厘米


课后练习（十五）
1、一根钢材据称9段，要付锯工费48元，现在付了锯工费90元，这根钢材
被锯成了几段？


2、古运河一侧河边每隔8米栽一棵柳树，军军沿着沿河公路骑自行车5分钟时间一共看到了251棵柳树。军军每分钟骑多少米？


3、一条公路长400米，在街道两旁种桃树，每两棵树间距相等，共种162棵。求每两棵桃树间的距离。


4、在冬奥会的开幕式上，某国180名运动员排成6人一排的队伍，前后两排运动员相隔2米。这个队伍长多少米？


5、金陵中学的初一学生排成五路纵队参加广播操比赛，队伍长20米，每路纵队中的前后两人相距1米。那么，一共有多少个学生参加了广播操比赛？


6、在一条马路上按相等的距离种树，甲、乙两人同时从路的一端出发，向另一端步行。当甲走到第21棵树时，回头看见乙到的那棵树与自己正隔着3棵，已知乙每分钟走40米。问：甲每分钟走多少米？