12 奇偶性（解析版）苏教版（2019）高中数学初升高练习
展开第十二讲 奇偶性【学习目标】l.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生的观察能力、抽象思维能力，以及从特殊到一般的归纳能力2.掌握判断函数的奇偶性的方法3..理解并能运用函数奇偶性的简单性质 【知识要点】l.函数奇偶性的定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数（odd function）. 2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象. 3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再比较与的关系； 4.函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；（3）若奇函数在原点有意义，则；（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；（6）函数与函数有相同的奇偶性.5.奇偶性与单调性：（1）奇函数在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性；（2）偶函数在两个关于原点对称的区间上有相反的单调性. 【精讲精练】 一．奇偶性的概念 例1 考察函数与思考1：这两个函数的图象分别是什么？两者有何共同特征？ 思考2：对于上述两个函数，与,与,与有什么关系 思考3：一般地，若函数的图象关于轴对称，则与有什么关系？反之成立吗 思考4：我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？ 例2 考察函数与思考1：这两个函数的图象分别是什么？两者有何共同特征？ 思考2：对于上述两个函数，与,与,与有什么关系 思考3：一般地，若函数的图象关于原点对称，则与有什么关系？反之成立吗 思考4：我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？[来源:Zxxk.Com] 二．函数奇偶性的判断 例3 判断下列函数的奇偶性（1） （2） （3） （4） 【答案】：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数；（4）偶函数 【解析】：（1）定义域为全体实数 ∴为偶函数（2）定义域为全体实数 ∴为奇函数（3）定义域为 ∴为奇函数（4）定义域为∴为偶函数 例4（1）判断函数与的奇偶性（2）从中你发现了什么？【答案】：（1）非奇非偶函数；（2）判断函数奇偶性步骤【解析】：（1）与无关 定义域不关于原点对称 （2）判断函数奇偶性步骤：①定义域关于原点对称；②运用奇偶性定义 变式 判断下列函数的奇偶性： （1） （2）【答案】：（1）非奇非偶函数；（2）即奇又偶函数【解析】：（1）定义域，解得 ∴为非奇非偶函数函数（2）定义域，解得定义域： 此时 ∴为即奇又偶函数 例5 已知，都为R上的奇函数，，判断并证明与的奇偶性。[来源:学科网ZXXK] 【答案】：为奇函数；为偶函数 【解析】：，∴为奇函数 ∴为偶函数[来源:学|科|网]变式 已知，分别为R上的奇函数和偶函数，判断并证明的奇偶性 【答案】：奇函数 【解析】：，∴为奇函数 例6 已知（1）为偶函数的条件是什么？（2）为奇函数的条件是什么？ 【答案】：（1）；（2） 【解析】：为奇函数（为奇数）；为偶函数（为偶数） 变式 已知函数为偶函数，其定义域为，则 ， 【答案】： 【解析】：定义域关于原点对称，为奇函数（为奇数）；为偶函数（为偶数） 三．奇偶函数解析式例7 已知是R上的奇函数，且当时，，（1）求证：（2）求的表达式。 【答案】： 【解析】：（1）由奇函数定义： 令，得（2）当时， ，∴ ∴ 变式 已知是R上的偶函数，且当时，，求的表达式。【答案】：【解析】：当时， ∴ 【课外作业】1．对于定义域是R的任意奇函数都有（ ）A. B. C. D.【答案】：【解析】：由奇函数定义，[来源:Zxxk.Com] 2．设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。【答案】：【解析】： 3.已知函数是奇函数，当时，；当时，等于（ ）A. B. C. D.【答案】：【解析】：当时， ，∴ 4．若函数，有则 。 【答案】：[来源:学|科|网Z|X|X|K] 【解析】： 5．设与的定义域是，是偶函数，是奇函数，且，求与的解析式 【答案】：， 【解析】：令 ，即
