人教版九年级下册第二十六章 反比例函数综合与测试学案

这是一份人教版九年级下册第二十六章 反比例函数综合与测试学案，共10页。




学习目标


1.通过知识点与相应题目相结合,进一步巩固本章知识点.


2.体会反比例函数的意义,会根据已知条件确定反比例函数表达式.


3.会画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.


4.能用反比例函数解决某些实际问题.


学习过程


第一层学习:复习知识


1.什么是反比例函数?常见的三种表达形式是什么?


2.你能回顾与总结反比例函数的图象与性质吗?





第二层学习:典例剖析


1.反比例函数的概念


【例1】下列函数中是反比例函数的有 (填序号).


①y=;②y=;③y=;④xy=;⑤y=x-1;⑥=2;⑦y=(k为常数,k≠0).


点评:本题考查了反比例函数的定义,判断一个函数是否是反比例函数,首先看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的意义去判断,其形式为y=(k为常数,k≠0)或y=kx-1(k为常数,k≠0).


【例2】m为何值时,下列函数是反比例函数?


(1)y=(m-1);


(2)y=.


点评:掌握反比例函数解析式的两种形式:①y=(k≠0)和②y=kx-1(k≠0)的特点,据此列出关于字母参数的方程或不等式是关键.





2.反比例函数的性质


【例3】在函数y=(a为常数)的图象上有三点(1,y1),,(-3,y3),则函数值y1,y2,y3的大小关系是( )


A.y1

B.y3

C.y2

D.y3

点评:本题考查了反比例函数的性质:反比例函数y=(k≠0)的图象为双曲线,当k>0时,图象分布在第一、三象限,在每一象限,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分布在第二、四象限,在每一象限,y随x的增大而增大.


3.反比例函数解析式中k的几何意义





【例4】如图所示,两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,则四边形PAOB的面积为( )


A.k1+k2


B.k1-k2


C.k1·k2


D.k1·k2-k2


点评:本题考查了反比例函数系数k的几何意义:在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.


4.反比例函数的实际应用





【例5】为了预防“流感”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示).现测得药物8 min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg.研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg才有效,那么此次消毒的有效时间是多少?


点评:本题考查了反比例函数的应用,现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.


5.反比例函数的综合应用





【例6】如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于第一象限C,D两点,与坐标轴交于A,B两点,连接OC,OD(O是坐标原点).


(1)利用图中条件,求反比例函数与一次函数的解析式和m的值;


(2)双曲线上是否存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.


点评:本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用,用了数形结合思想.


评价作业


1.(10分)下列函数:xy=1,y=,y=,y=,y=2x2中,是y关于x的反比例函数的有( )


A.1个 B.2个


C.3个D.4个


2.(10分)反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2,5),若点(-5,n)在反比例函数的图象上,则n等于( )


A.-10B.-5


C.-2D.-


3.(10分)对于函数y=(k>0)有以下四个结论:


①这是y关于x的反比例函数;②当x>0时,y的值随着x的增大而减小;③函数图象与x轴有且只有一个交点;④函数图象关于点(0,3)成中心对称.


其中正确的是( )


A.①②B.③④


C.①②③D.②③④


4.(10分)在函数y=-的图象上有三点(-1,y1),(-0.25,y2),(3,y3),则函数值y1,y2,y3的大小关系是 .


5.(10分)小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m,当撬动石头的动力F至少需要400 N时,则动力臂l的最大值为 m.





6.(10分)如图,点D为矩形OABC的AB边的中点,反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,交BC边于点E.若△BDE的面积为1,则k= .





7.(20分)如图,直线y=3x-5与反比例函数y=的图象相交A(2,m),B(n,-6)两点,连接OA,OB.


(1)求k和n的值;











(2)求△AOB的面积.

















8.(20分)喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序,即需要将电热水壶中的水烧到100 ℃,然后停止烧水,等水温降低到适合的温度时再泡茶,烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;停止加热过了1分钟后,水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20 ℃,降温过程中水温不低于20 ℃.


(1)分别求出图中所对应的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围;














(2)从水壶中的水烧开(100 ℃)降到80 ℃就可以进行泡制绿茶,问从水烧开到泡茶需要等待多长时间?






































参考答案


第一层学习:复习知识


1.一般地,形如y=(k是常数,k≠ 0 )的函数叫做反比例函数.


解析式有三种常见的表达形式:①y=(k是常数,k≠0),②xy=k(k是常数,k≠0),③y=kx-1(k是常数,k≠0).


2.





第二层学习:典例剖析


1.反比例函数的概念


【例1】解析:由题意可得①⑤⑥是一次函数;②③④⑦是反比例函数.


答案:②③④⑦


【例2】解:(1)由题意得m2-2=-1,且m-1≠0,


解得m=-1;


(2)由题意得m+2≠0,|m|-1=1,


解得m=2.


2.反比例函数的性质


【例3】解析:∵-a2-1<0,


∴函数y=(a为常数)的图象分布在第二、四象限,


∴y3为正数,最大;y1>y2,


∴y2

答案:C


3.反比例函数解析式中k的几何意义


【例4】解析:∵PC⊥x轴,PD⊥y轴,


∴S矩形PCOD=k1,S△AOC=S△BOD=×k2,


∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=k1-k2-k2=k1-k2.


答案:B


4.反比例函数的实际应用


【例5】解:设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x(k1>0),


将(8,6)代入,得6=8k1,解得k1=;


设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(k2>0),


将(8,6)代入,得6=,解得k2=48,


所以药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=x(0≤x≤8),


药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(x>8);


把y=3代入y=x,得x=4,


把y=3代入y=,得x=16.


16-4=12(分钟).


故此次消毒的有效时间是12分钟.


5.反比例函数的综合应用


【例6】解:(1)把C(1,4)代入y=,


得k=4,


把(4,m)代入y=,得m=1;


∴反比例函数的解析式为y=,m=1;


把C(1,4),D(4,1)代入y=ax+b得出


解得


∴一次函数的解析式为y=-x+5;


(2)双曲线上存在点P(2,2),使得S△POC=S△POD,理由如下:


∵C点坐标为(1,4),D点坐标为(4,1),


∴OD=OC=,


∴当点P在∠COD的平分线上时,∠COP=∠POD,又OP=OP,


∴△POC≌△POD,


∴S△POC=S△POD.


∵C点坐标为(1,4),D点坐标为(4,1),


可得∠COB=∠DOA,


又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=交点,


∴∠BOP=∠POA,


∴P点横纵坐标相等,


即xy=4,x2=4,


∴x=±2,


∵x>0,


∴x=2,y=2,


故P点坐标为(2,2),使得△POC和△POD的面积相等.


利用点CD关于直线y=x对称,P(2,2)或P(-2,-2).


评价作业


1.A 2.C 3.D


4.y3

5.1.5


6.4


7.解:(1)∵点B(n,-6)在直线y=3x-5上,


∴-6=3n-5,


解得n=-,


∴B,


∵反比例函数y=的图象过点B,


∴k-1=-×(-6),


解得k=3;





(2)设直线y=3x-5分别与x轴、y轴交于C,D,


当y=0时,3x-5=0,x=,


即OC=,


当x=0时,y=-5,


即OD=5,


∵A(2,m)在直线y=3x-5上,


∴m=3×2-5=1,


即A(2,1),


∴△AOB的面积S=S△BOD+S△COD+S△AOC=×5+×5+×1=.


8.解:(1)停止加热时,设y=,


由题意得50=,


解得k=900,


∴y=,


当y=100时,解得x=9,


∴C点坐标为(9,100),


∴B点坐标为(8,100),


当加热烧水时,设y=ax+20,


由题意得100=8a+20,


解得a=10,


∴当加热烧水时,函数关系式为y=10x+20(0≤x≤8);


当停止加热时,得y与x的函数关系式为(1)y=100(8

(2)把y=80代入y=,得x=11.25,


因此从水烧开到泡茶需要等待3.25分钟.








图象
形状
位置
增减性
变化趋势
对称性
面积不变性
图象
k>0 k<0



形状
图象是双曲线
位置
当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内


当k<0时,双曲线分别位于第二,四象限内
增减性
当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小


当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
变化趋势
双曲线无限接近于x,y轴,但永远不会与坐标轴相交
对称性
双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.
面积不变性



任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k;


长方形面积|mn|=|k|