初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时学案

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时学案，共7页。学案主要包含了自主学习，合作探究等内容，欢迎下载使用。




学习目标


1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.


2.能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.





学习过程


一、自主学习


阅读教材P32-34,自学“探究2”“探究3”“思考”与“例1”,掌握相似三角形判定定理1与判定定理2,完成下列自学提纲:


自学提纲1:任意画△ABC和△A'B'C',使△A'B'C'的各边长都是△ABC各边长的k倍,△ABC∽△A'B'C'吗?


a.操作:度量这两个三角形的对应角,这两个三角形的对应角 ,对应边 .


b.猜想:在△ABC和△A'B'C'中,如果 ,那么△ABC∽△A'B'C'.


c.证明:如图,在线段A'B'上截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'于点E,则△A'DE∽△A'B'C'.∴ .又∵,A'D= ,


∴,


∴DE=BC,A'E=AC,


∴△A'DE △ABC.


∴△ABC∽△A'B'C'.





d.归纳:三边 的两个三角形相似.


e.推理格式:∵ ,∴△ABC∽△A'B'C'.


自学提纲2:利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C',使∠A=∠A',=k.△ABC∽△A'B'C'吗?


a.操作:量出BC和B'C',它们的比值等于k吗?∠B=∠B',∠C=∠C'吗?


b.改变∠A的大小,结果怎样?改变k的值呢?


c.猜想:在△ABC和△A'B'C'中,如果,∠A=∠A', ,那么△ABC∽△A'B'C'.


d.证明:


e.两边 且夹角 的两个三角形相似.


f.推理格式:∵ ,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.





自学提纲3:在△ABC与△A'B'C'中,如果,∠B=∠B',那么△ABC与△A'B'C'一定相似吗?如果一定相似,给予证明;如果不一定相似,举一反例(画图).


结论:如图,在△ABD与△ABC中,BD=BC,= , 是公共角,显然△ABD与△ABC .


二、合作探究


1.(1)教材P33例1的第(1)题中,三条边成比例吗?符合判定定理1的条件吗?











(2)教材P33例1的第(2)题中,∠A与∠A'分别是两条对应边的夹角吗?符合哪个判定定理的条件?











2.根据下列条件,判定△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.


(1)AB=10 cm,BC=8 cm,AC=16 cm,A'B'=16 cm,B'C'=12.8 cm,A'C'=25.6 cm.








(2)∠A=40°,AB=8 cm,AC=15 cm,∠A'=40°,A'B'=16 cm,A'C'=30 cm.








3.下图中的两个三角形是否相似?为什么?





评价作业


1.(6分)如图所示,已知△MNP,则下列四个三角形中与△MNP相似的是( )





2.(6分)在△ABC中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm,则最长边长是( )


A.18 cm B.21 cm


C.24 cmD.19.5 cm


3.(6分)如图所示,与左图中的三角形相似的是( )





4.(6分)如果三角形的每条边都扩大为原来的3倍,那么三角形的每个角( )


A.都扩大为原来的3倍


B.都扩大为原来的6倍


C.都扩大为原来的9倍


D.都与原来相等





5.(6分)如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形,若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是( )


A.①与②相似


B.①与③相似


C.①与④相似


D.②与④相似


6.(8分)在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1,,可得出△ABC △A1B1C1,理由是 .


7.(8分)△ABC的三边长分别为2,,△A1B1C1的两边长分别为1和,当△A1B1C1的第三边长为 时,△ABC∽△A1B1C1.





8.(8分)如图所示,D是∠ABC平分线上的一点,AB=15 cm,BD=12 cm,要使△ABD∽△DBC,则BC的长为 cm.





9.(10分)如图所示,已知,∠BAD=20°,求∠CAE的大小.























10.(16分)如图所示,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.


(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?











(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.




















11.(20分)如图所示,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM为多少时,△ADE与△MNC相似?




















参考答案


学习过程


一、自主学习


自学提纲1:


a.相等 成比例


b.


c. AB ≌


d.成比例


e.


自学提纲2:


相似


a.等于 ∠B=∠B',∠C=∠C'


b.都不变


c.


d.如图所示,在线段A'B'(或它的延长线上)截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'(或它的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'.


∴,


又,A'D=AB,


∴,


∴A'E=AC.


又∵∠A=∠A',


∴△A'DE≌△ABC,


∴△ABC∽△A'B'C'.





e.成比例 相等


f.


自学提纲3:


∠A 不相似


二、合作探究


1.(1)三条边成比例 符合判定定理1的条件


(2)是两条对应边的夹角 符合“两边成比例且夹角相等”


2.(1)相似,三边对应成比例.


(2)相似,两边成比例且夹角相等.


3.图1相似,两边成比例且夹角相等;图2不相似,三边不成比例.


评价作业


1.C 2.B 3.B 4.D 5.B


6.∽ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似


7. 8.9.6


9.解:∵,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE=20°.


10.解:(1)∵△PCD是等边三角形,∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠PCA=∠PDB=120°,∴当时,△ACP∽△PDB,即,∴当CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB.


(2)∵△PDB∽△ACP,∴∠BPD=∠A.∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°,∴∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD=60°+60°=120°.


11.解:设CM的长为x.在Rt△MNC中,∵MN=1,∴NC=,①当Rt△AED∽Rt△CMN时,有,即,解得x=或x=-(不合题意,舍去),②当Rt△AED∽Rt△CNM时,有,即,解得x=或x=-(不合题意,舍去),综上所述,CM=时,△AED与△MNC相似