初中人教版28.2 解直角三角形及其应用导学案

这是一份初中人教版28.2 解直角三角形及其应用导学案，共7页。学案主要包含了复习旧知，自主探究，尝试应用，补偿提高，学后反思等内容，欢迎下载使用。

28.2.1 解直角三角形





学习目标


1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系.


2.会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.


学习过程


一、复习旧知


1.在三角形中共有几个元素?


答:





2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?


(1)边角之间关系:


.


(2)三边之间关系:


.


(3)锐角之间关系: .


二、自主探究





【探究1】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6 m的梯子,问:


(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?


(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?


问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长.


解:


问题(2)可以归结为在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6,求锐角α的度数


解:


【探究2】


1.在直角三角形中,除直角外的5个元素中知道几个,就可以求其余元素?


答:


2.解直角三角形: .


三、尝试应用





1.在△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=,a=,解这个三角形.


解:

















2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个三角形(结果保留小数点后一位).


解:











四、补偿提高


1.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形;


(1)a=30,b=20;








(2)∠B=72°,c=14.








2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠A的平分线AD=10,解这个直角三角形.


解:











五、学后反思


通过本节课的学习你有哪些收获?


答:


评价作业(满分100分)


1.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则∠B等于( )


A.30° B.45°


C.60°D.90°


2.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为( )


A.7sin 35°B.


C.7cs 35°D.7tan 35°


3.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是( )


A.sin B=B.cs B=


C.tan B=2D.AB=


4.(6分)在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=10,sin A=,则BC的长为( )


A.6B.7.5


C.8D.12.5


5.(6分)如果等腰三角形的底角为30°,腰长为6 cm,那么这个三角形的面积为( )


A.4.5 cm2B.9 cm2


C.18 cm2D.36 cm2


6.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=10,∠A=30°,则a= .





7.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cs B=,则AC= .


8.(8分)如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是 .





第8题图 第9题图


9.(8分)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则AB的长为 .


10.(10分)根据下列条件解直角三角形.


(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5.














(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=.














11.(12分)如图所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cs A=,BE=4,求tan∠DBE的值.




















12.(16分)如图所示,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.


(1)求sin B的值;

















(2)如果CD=,求BE的长.














参考答案


学习过程


一、复习旧知


1.答:共有六个元素,其中有三条边和三个角.


2.(1)sin A= cs A= tan A=


sin B= cs B= tan B=


(2)a2+b2=c2(勾股定理).


(3)∠A+∠B=90°


二、自主探究


【探究1】(1)解:当∠BAC=75°时,梯子能安全使用且它的顶端最高;


在Rt△ABC中,有sin∠BAC=,


∴BC=AB·sin∠BAC=6×sin 75°≈5.8;


答:使用这个梯子最高可以安全攀上的墙高约为5.8 m.


(2)解:在Rt△ABC中,有cs∠BAC==0.4,


利用计算器求得∠BAC≈66°,


∵50°<66°<75°,


∴这时人能安全使用这个梯子.


答:人能够安全使用这个梯子.


【探究2】


1.答:知道5个元素中的2个(其中有1个是边),就可以求其余元素.


2.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程.


三、尝试应用


1.解:∵tan A=,∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,AB=2AC=2.


2.解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.


∵tan B=,∴a=≈28.6.


∵sin B=,∴c=≈34.9.


四、补偿提高


1.解:(1)由勾股定理得,c==10,


∵tan A=,


∴∠A=33.69°,


∠B=90°-33.69°=56.31°;


(2)b=c·sin B=14×0.951 1≈13.315,


a=c·cs B=14×0.309 0≈4.326,


∠A=90°-72°=18°.





2.解:如右图所示,


∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠A的平分线AD=10,


∴sin∠ADC=,


∴∠ADC=60°,


∴∠CAD=30°,


∴∠CAB=60°,∠B=30°,


∴AB=2AC=30,BC=15,


即∠CAB=60°,∠B=30°,BC=15,AB=30.


五、学后反思


答:1.解直角三角形的概念:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.


2.解直角三角形的基本类型有两种:①已知两条边;②已知一条边和一个锐角.


3.解直角三角形的一般步骤:(1)画示意图;(2)分析已知量与未知量的关系,选择适当的边角关系;(3)求解.


评价作业


1.C 2.C 3.A 4.A 5.B 6. 7.5 8.105°9.3+


10.解:(1)根据勾股定理可得AC==5,又sin A=,∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°.


(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠B=90°-∠A=30°.又sin A=,∴AB=2,由勾股定理可得AC==1.


11.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∵cs A=,BE=4,DE⊥AB,∴设AD=AB=5x,AE=3x,则5x-3x=4,∴x=2,即AD=10,AE=6,在Rt△ADE中,由勾股定理得DE==8,在Rt△BDE中,tan∠DBE==2.


12.解:(1)∵AE⊥CD,∠ACB=90°,∴∠AHC=∠ACB=90°,


∵CD是AB上的中线,∴CD=AD=BD=AB,


∴∠DAC=∠DCA,∠B=∠DCB,∴∠B=∠CAH,


∵AH=2CH,∴CH∶AH∶AC=1∶2∶,


∴sin B=sin∠CAH=.


(2)由(1)可知AC∶BC∶AB=1∶2∶,CE∶AC∶AE=1∶2∶,∵CD=,∴AB=2,∴AC=2,BC=4,CE=1,∴BE=BC-CE=4-1=3.