人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用学案

这是一份人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用学案，共10页。学案主要包含了自主预习，活动2　利用测角仪测量塔高，总结反思等内容，欢迎下载使用。




学习目标


(1)会制作测角仪,应用制作的测角仪测量实物的高度,体会三角函数和解直角三角形在实际生活中的应用价值;


(2)在实际操作中培养学生分析问题、解决问题的能力.


学习过程


一、自主预习


问题:


1.什么是解直角三角形?


答:








2.解直角三角形的依据是什么?


答:











3.应用解直角三角形解决实际问题的的一般步骤是什么?


答:








二、活动1 制作测角仪,测量树的高度


阅读教科书“活动1”,思考:





1.制作测角仪,测量树的高度的步骤:


(1)把一根细线固定在半圆形量角器的 ,细线的另一端系一个小重物,制成一个简单的测角仪,利用它可以测量仰角或俯角;


(2)将这个仪器用手托住,拿到眼前,使视线沿着仪器的 刚好到达树的最高点;


(3)得出 的度数;


(4)测出你到 的距离;


(5)计算这棵树的高度.


2.(1)测角仪是由哪几个部分组成的?


(1)答:





(2)测角仪上角的读数与仰角有怎样的关系?


答:





3.树的高度怎样计算?


答:


三、活动2 利用测角仪测量塔高


阅读教科书“活动2”,思考:





1.利用测角仪测量塔高的一般步骤?


(1)在塔前的平地点选择一点A,用活动1中制作的测角仪测出你看 的仰角α;


(2)在A点和塔之间选择一点B,测出你由B点看 的仰角β;


(3)量出 ;


(4)计算塔的高度.


2.塔的高度怎样计算?


答:





四、总结反思


请同学们回顾本节课的内容,说一说“活动1”和“活动2”的测量方法有什么区别?


答:








评价作业





1.(8分)元旦期间,小明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动,在离电线杆21米的D点,用高1.2米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α=30°,则电线杆AB的高为( )


A.(9+1.2)米


B.(7+1.2)米


C.(9+1.2)米


D.(7+1.2)米





2.(8分)周末,小明和小华来滨湖新区渡江纪念馆游玩,看到高雄挺拔的“胜利之塔”,萌发了用所学知识测量塔高的想法,如图,他俩在塔AB前的平地上选择一点C,树立测角仪CE,测出看塔顶的仰角约为30°,从C点向塔底B走70米到达D点,测出看塔顶的仰角约为45°,已知测角仪器高为1米,则塔AB的高大约为(≈1.7)( )


A.141米


B.101米


C.91米


D.96米





3.(8分)小明和小刚一起去测上海东方明珠塔(BC)的高度,如图所示,他们在离塔200米的大楼楼顶A处用测角仪测得的仰角∠BAE=60°(AE与地面CD平行),塔底的俯角∠CAE=30°,则该塔的高为( )米(测角仪的高度不计)


A.300


B.400


C.


D.100+200





4.(8分)如图,为了测量某建筑物BC的高度,小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前进了10 m到达D处,此时遇到一斜坡,坡度i=1∶,沿着斜坡前进10米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°,请求出该建筑物BC的高度为( )(结果可带根号)


A.5+5


B.5+5


C.5+10


D.5+10


5.(10分)B为一建筑物BC的最高点,B在地面上的投影为E,从地面上的A点,用测角仪测得B点的仰角为α,测角仪高AD=b,若AC=a,则建筑物CB的高可表示为 .





6.(10分)如图,山脚下有一棵树AB,小强从点B沿山坡向上走50 m到达点D,用高为1.5 m的测角仪CD测得树顶为10°,已知山坡的坡脚为15°,则树AB的高= (精确到0.1 m)(已知sin 10°≈0.17,cs 10°≈0.98,tan 10°≈0.18,sin 15°≈0.26,cs 15°≈0.97,tan 15°≈0.27).



































7.(10分)在湖心有一座塔,小明想知道这座塔的高度,于是他在岸边架起了测角仪.他测量得数据如下(如图示):测角仪位置(P)距水平面(l)的距离为1.5米(即OP),测得塔顶A的仰角为α(其中tan α=),测得塔顶在水中倒影A1(即AB=A1B)的俯角为30°.那么这座塔的高度AB= .(结果保留根号)





8.(12分)如图所示,为了知道楼房CD外墙上一电子屏的高度DE是多少,某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作;在A处测得点E的仰角为31°,在B出测得点D的仰角为50°,A、B、H共线,且AH⊥CD于点H,AB为20米,测角仪的高度(AF、BG)为1.6米.已知楼房CD高为34.6米,根据测量数据,请求出DE的高度.(参考数据:tan 31°≈0.6,tan 50°≈1.2)























9.(12分)如图,为了测量一棵树被风吹斜了的大树的高度,某人从大树底部B处往前走20米到C处,用测角仪测得树顶A的仰角为30°,已知测角仪的高CD为1米,大树与地面成45°的夹角(平面ABCD垂直于地面),求大树的高(保留根号).




















10.(14分)某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度.如图,大楼前有一段斜坡BC,已知BC的长为12米,它的坡度i=1∶.在离C点40米的D处,用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°,测角仪DE的高为1.5米,求大楼AB的高度约为多少米?(结果精确到0.1米)


(参考数据:sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73)








参考答案


学习过程


一、自主预习


1.答:解直角三角形就是由直角三角形中的已知元素(至少有一条边),求出其余未知元素的过程.


2.答:解直角三角形的依据是以下3个关系:


(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);


(2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°;


(3)边角之间关系:sin A=,cs A=,tan A=.


3.答:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);


(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;


(3)得到数学问题的答案;


(4)得到实际问题的答案.


二、活动1 制作测角仪,测量树的高度


1.(1)圆心处 (2)直径 (3)仰角α (4)树根


2.(1)答:测角仪由量角器、细线、小重物等组成.


(2)答:测角仪上角的读数与仰角是互余的关系.


3.答:树的高度=人到树根的距离·tan α+测角仪的高度,其中α是所测仰角.


三、活动2 利用测角仪测量塔高


1.(1)塔顶 (2)塔顶 (3)A、B两点的距离


2.答:根据“=A、B两点的距离”列出方程,解方程求出塔高.


四、总结反思


答:“活动1”需要测量一个角度和两个距离,通过计算便可得到树高,适用于测量底部可以到达的物体高度;“活动2”需要测量两个角度和两个距离,通过解方程方可得到塔高,适合于测量底部不能到达的物体高度.


评价作业


1.B


2.D


3.C





4.D 解析:过E作EF⊥AB于F,EG⊥BC与G,


∵CB⊥AB,


∴四边形EFBG是矩形,


∴EG=FB,EF=BG,


设CG=x米,


∵∠CEG=45°,


∴FB=EG=CG=x,


∵DE的坡度i=1∶,


∴∠EDF=30°,


∵DE=10,


∴DF=10cs 30°=5,BG=EF=10sin 30°=5,


∴AB=10+5+x,BC=x+5,


在Rt△ABC中,


∵∠A=30°,


∴BC=AB·tan∠A,


即x+5=(10+5+x),


解得:x=5+5,


∴BC=5+5+5=(5+10)米.


5.CB=b+a·tanα


6.23.2 m





7.(3+) 解析:作PH⊥AB交AB于点H.


由题意可知:四边形OPBH为矩形,


∴HB=OP=1.5.


在Rt△APH中,tan α=,


令AH=k,PH=3k.


在Rt△A1PH中,∠A1PH=30°,


∴A1H=PH·tan 30°=,


又AB=A1B,得:k+1.5=,


解得:k=,


∴AB=AH+HB=3+(米).





8.解:由题意知∠EAH=31°,∠DBH=50°,CH=AF=1.6,


∴DH=DC-CH=34.6-1.6=33,


在Rt△DBH中,


∵tan 50°=,


∴BH==27.5,


∴AH=27.5+20=47.5.


在Rt△EAH中,


∵tan 31°=,


∴EH=47.5×tan 31°≈28.5,


∴DE=DH-EH≈33-28.5=4.5(米).


答:DE的高度约为4.5米.





9.解:作AE⊥BC于点E,作DF⊥AE于点F,交AB于点G,作GH⊥CE于点H.


设AF=x,在△ADF中,∠ADF=30°,则DF=x,


在直角△AGF中,∠ADF=45°,则GF=AF=x,


在直角△BGH中,∠ABE=45°,GH=CD=1,则BH=GH=1,


∴DG=BC+BH=20+1=21(米),


∵DF-GF=DG,


∴x-x=21,


解得:x=(米),


则AE=AF+EF=+1=(米).


则树高AB=AE=(米).


答:大树的高是米.





10.解:延长AB交直线DC于点F,过点E作EH⊥AF,垂足为点H.


∵在Rt△BCF中,=i=1∶,


∴设BF=k,则CF=k,BC=2k.


又∵BC=12,∴k=6,∴BF=6,CF=6.


∵DF=DC+CF,


∴DF=40+6.


∵在Rt△AEH中,tan∠AEH=,


∴AH=tan 37°×(40+6)≈37.785(米),


∵BH=BF-FH,∴BH=6-1.5=4.5.


∵AB=AH-HB,∴AB=37.785-4.5≈33.3.


答:大楼AB的高度约为33.3米.