8.1.5空间向量运算的坐标表示 1课时 教案-2020届高三数学一轮复习

北师大珠海分校附属外国语学校教学设计文本2019年12月27 日                                                      执教: 孙欣课    题空间向量运算的坐标表示教学目标1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系  2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示教学重点1．投影与投影定理                                       2．分向量与向量的坐标                                 3．模与方向余弦的坐标表示教学难点1．投影定理2．分向量3．方向余弦的坐标表示教学方法启发教学时间1课时教学过程一、向量在轴上的投影1．几个概念(1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则(2)  设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有(3)  两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为(4)  空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。(5)  向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。2．投影定理性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即                性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。 设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示          图7－5沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：i + j+k或     a = ax i + ayj + azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为           a ＝ {ax，ay，az}。上式叫做向量a的坐标表示式。 于是，起点为终点为的向量可以表示为特别地，点对于原点O的向径      注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.2．向量运算的坐标表示 设，即，则(1)  加法： ◆     减法： ◆     乘数： ◆     或  ◆     平行：若a≠0时，向量相当于，即也相当于向量的对应坐标成比例即三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。                                                                                    图              7－61．  模  2．  方向余弦由性质1知，当时，有◆     任意向量的方向余弦有性质：◆     与非零向量a同方向的单位向量为：3．  例子：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}  ，， ，， 设为与同向的单位向量，由于 即得作业:  册p78 预习导学板书设计：            空间向量运算的坐标表示一、回顾                                        二、例1