第5章数列专练3—等差数列（二）-2021届高三数学一轮复习

数列专练3—等差数列（二）一、单选题1．在等差数列中，若，是方程的两根，则的值为　　A．6 B． C．16 D．142．已知数列中，若，，则下列各不等式中一定成立的是　　A． B． C． D．3．设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则　　A． B． C． D．4．若两等差数列、前项和分别为、，满足，则的值为　　A． B． C． D．5．在等差数列中，，．记，2，，则数列　　A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项6．若为等差数列，首项，，，则使得前项和成立的最大自然数是　　A．2017 B．2018 C．2019 D．20207．下列关于公差的等差数列的四个命题：：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；其中真命题是　　A．， B．， C．， D．，8．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为　　A．63 B．64 C．65 D．66二、多选题9．设等差数列的前项和为．若，，则有　　A． B． C． D．10．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有　　A．是唯一最大值 B．是最大值 C． D．是最小值11．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．与均为的最大值12．已知等差数列的首项是正数，记为数列的前项和，若，则下列结论中正确的有　　A． B． C．是先增后减数列 D．且为的最大值 三、填空题13．已知是等差数列，若，则　　14．在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为　　．15．在等差数列中，已知第1项到第10项的和为20，第11项到第20项的和为1020，则第21项到第30项的和为　．16．设公差不为零的等差数列的前项和为，．若存在常数，使得恒成立，则取最大值时，            ． 四、解答题17．设是等差数列的前项和，，_____．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和的最值．从①；②；③中任选一个，补充在上面的问题中并作答．18．已知数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等差数列．所以，，两式相减可得，，，故数列的奇数项是以8为公差的等差数列，，偶数项是以8为公差的等差数列，，故数列是以4为首项，以4为公差的等差数列．19．已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，．（1）求通项公式；（2）求的最小值；（3）若数列是等差数列，且，求非零常数．20．已知数列的前项和为，且满足，．（1）求证：是等差数列（2）求数列的通项公式．数列专练3—等差数列（二）答案五、单选题1．解：由题设条件和韦达定理可得：，，，故选：．2．解：由可得数列为等差数列故选：．3．解：数列为递减数列，，即，，故选：．4．解：由题意可得故选：．5．解：设等差数列的公差为，由，，得，．由，得，而，可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知，，，为最大项，自起均小于0，且逐渐减小．数列有最大项，无最小项．故选：．6．解：，，且，，又，而故使得前项和成立的最大自然数是2018，故选：．7．解：对于公差的等差数列，，命题：数列是递增数列成立，是真命题．对于数列，第项与第项的差等于，不一定是正实数，故不正确，是假命题．对于数列，第项与第项的差等于，不一定是正实数，故不正确，是假命题．对于数列，第项与第项的差等于，故命题：数列是递增数列成立，是真命题．故选：．8．解：，，成等差数列，①，由①可得：，，，又②，由②①可得：，数列是公差为2的等差数列，，，，，，当时，，的最大值为63．故选：． 六、多选题9．解：设等差数列的公差为，由题设可得：，解得：，，，故选：．10．解：等差数列的前项和为，公差为，且满足，，，，化为：．．，都是最大值．故选：．11．解：根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故正确；又由由得，则有，故错误；而选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然选项是错误的．，，与均为的最大值，故正确；故选：．12．解：，，，，，数列是递减数列，且公差，故选项、正确，选项错误；又，选项正确，故选：．七、填空题13．解：是等差数列，，，解得，．故答案为：15．14．解：，当且仅当时取得最大值，，即，解得：，综上：的取值范围为．15．解：设等差数列的前项和为，由题设知：，，由等差数列前项和性质可知：，，成等差数列，即20，1020，成等差数列，，解得：，故答案为：2020．16.解：设公差为，由恒成立，可得：当时，有，，①，又当时，有②，由①②可解得：，，，，令，，则，易知当时，；当时，；当时，，当最大时，或19，即取最大值时，或19，故答案为：18或19．  八、解答题17．解：选①：（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设知：，解之得：，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，数列是递增数列，．选②：（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设知：，，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，令，故．选③：（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设知：，解得，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，令，故．18．解：（1），，，，两式相减可得，，，，，适合上式，故，，证明：（2）因为，所以，，两式相减可得，，，故数列的奇数项是以8为公差的等差数列，，偶数项是以8为公差的等差数列，，故数列是以4为首项，以4为公差的等差数列．19．解：（1）数列为等差数列，．又，，是方程的两实根．又公差，，，，，解得，，通项公式．（2）由（1）知，，．当时，最小，最小值为．（3）由（2）知，，，，．数列是等差数列，，即，，舍去），故．20．证明：（1）当时，，又，所以．若，则与矛盾．故，所以．又，所以是首项为2，公差为2的等差数列．（6分）（2）解：由（1）得，故．当时，；当时，．所以．（12分）