第五章数列专练5—等比数列（二）-2021届高三数学一轮复习

数列专练5—等比数列（二）一、单选题1．设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（　　）A．12 B．24 C．30 D．322．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（　　）A．16 B．8 C．4 D．23．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11+2a6a8+a3a13＝25，则a72的最大值是（　　）A．25 B． C．5 D．4．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1．若a16＝a1a2a3…ak，则k＝（　　）A．4 B．5 C．6 D．75．在正项等比数列{an}中，a1＝1，前三项的和为7，若存在m，n∈N*使得，则的最小值为（　　）A． B． C． D．6．设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）＝（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（　　）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7．已知前n项和为Sn，的数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan+1＝22n﹣1，则＝（　　）A．62 B．63 C．64 D．658．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝64，a4＝16，则的最小值为（　　）A．4 B．8 C．16 D．32二、多选题9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是　　A． B． C．的最大值为 D．的最大值为10．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是　　A． B． C． D．11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是　　A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值12．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有　　A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列 B．若数列的前项和，则数列为等差数列 C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列三、填空题13．已知数列为等比数列，，则　　．14．等比数列的各项均为正数，且，则　　．15．公比不为1的等比数列中，对任意，既是与的等差中项，又是1与的等比中项，则　　．16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，共收有246个与生产实践有关的应用题．书中有一道“两鼠穿墙题”，原文如下：“今有垣厚十八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，其大意为：“现在有厚18尺的墙，有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两只老鼠第几天相逢？”．请同学们运用所学数列知识，判断这两只老鼠在第　　天相逢？（天数取整数）四、解答题17．设数列的首项为常数，且．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围．18．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．19．已知数列的前项和满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）设函数，求．20.已知数列中，．（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数．数列专练5—等比数列（二）答案 1．解：{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，则a2+a3+a4＝q（a1+a2+a3），即q＝2，∴a6+a7+a8＝q5（a1+a2+a3）＝25×1＝32，故选：D．2．解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有，∴，∴．故选：C．3．解：由等比数列的性质可得：a1a11＝，a3a13＝，∵a1a11+2a6a8+a3a13＝25，an＞0．∴+2a6a8+＝25＝≥，∴a6a8≤，又a6a8＝，∴a72的最大值是．故选：B．4．解：∵a1＝1，公比|q|≠1．若a16＝a1a2a3…ak，∴由等比数列的性质可知，a1q15＝a1kq1+2+…+（k﹣1），∴q15＝q1+2+…+（k﹣1），即15＝1+2+…+（k﹣1）＝，∴解得k＝6．故选：C．5．解：根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，则q＞0，若等比数列{an}的前三项的和为7，即a1+a2+a3＝1+q+q2＝7，变形可得q2+q﹣6＝0，解可得q＝2或﹣3（舍），又由，即aman＝16（a1）2，则有a1qm﹣1×a1qn﹣1＝16（a1）2，变形可得m+n＝6，所以＝，当且仅当，时，等号成立，但是m，n∈N*，故m＝2，n＝4时，取得最小值为，故选：D．6．解：由a1，a2，…，an∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，若a1，a2，…，an成等比数列，即有＝＝…＝，则（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）＝（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1＝a2＝a3＝…＝an＝0，则a1，a2，…，an不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．7．解：∵＝＝＝4，∴数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列．∴an＝，即an＝2n﹣1，∴＝＝1＝26＝65．故选：D．8．解：设等比数列{an}的公比为q＞0．∵a1a5＝64，a4＝16，∴q4＝64，a1q3＝16，∴q＝2，a1＝2．∴an＝2n，Sn＝＝2（2n﹣1）．则＝＝（2n++16）≥×（2+16）＝8．当且仅当n＝3时取等号．∴的最小值为8．故选：B．9．解：由条件，，，可得：，．，，中没有最大值，的最大值为．则下列结论正确的是．故选：．10．解：由题意，可设等比数列的公比为，则．对于．数列是一个以为首项，为公比的等比数列；对于．数列是一个以为首项，为公差的等差数列；对于，数列是一个以为公比的等比数列；对于，数列是一个以为公比的等比数列．故选：．11．解：等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，，，．根据，，可知等比数列为正项的递减数列．即．，，故选项正确；，．即．故选项错误；根据．可知是数列中的最大项，故选项正确、选项错误．故选：．12．解：根据题意，依次分析选项：对于，若数列的前项和，若，由等差数列的性质可得数列为等差数列，若，则数列从第二项起为等差数列，故不正确；对于，若数列的前项和，可得，，，则，，成等比数列，则数列不为等差数列，故不正确；对于，数列是等差数列，为前项和，则，，，，即为，，，，即为为常数，仍为等差数列，故正确；对于，数列是等比数列，为前项和，则，，，不一定为等比数列，比如公比，为偶数，，，，，均为0，不为等比数列．故不正确．故选：．13．解：数列为等比数列，，，，，．故答案为：1．14．解：等比数列的各项均为正数，且，则，故答案为：．15．解：公比不为1的等比数列中，对任意，既是与的等差中项，又是1与的等比中项，故有：且；且，   舍），，；故答案为：． 16．解：大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第天，则满足，即，即，则在上是增函数，（4），（5），相遇时是第5天，故答案为：5． 17．解：（1），则时，，时，为等比数列，公比为．时，数列不是等比数列．（2）时，，为单调递增数列，满足条件．时，由（1）可得：，，，，，．且．综上可得：．18．（1）解：∵Sn＝，n∈N*．∴当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝3n﹣2，（*）当n＝1时，a1＝S1＝＝1．因此当n＝1时，（*）也成立．∴数列{an}的通项公式an＝3n﹣2．（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．则，∴（3n﹣2）2＝1×（3m﹣2），化为m＝3n2﹣4n+2，∵n＞1，∴m＝3n2﹣4n+2＝＞1，因此对任意的n＞1，都存在m＝3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列．19．（1）证明：因为，所以，（1分）所以，所以（3分）又，所以．（4分）所以数列为首项为，公比为的等比数列．（5分）（2）解：因为，所以因为所以（12分）20.解：（1）设，因为分若数列是等比数列，则必须（常数），即，即分此时，所以存在实数，使数列是等比数列分（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，故，即分由得，分所以，分显然，当时，单调递减，又当时，，当时，，所以当时，；．同理，当且仅当时，，综上，满足满足的所有正整数为1和分