第五章数列专练9—数列求和（讨论奇偶）-2021届高三数学一轮复习

数列专练9—数列求和（讨论奇偶）1．在等差数列中，已知公差，是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记，求．解：（Ⅰ）是与的等比中项，，在等差数列中，公差，，即，化为，解得．．（Ⅱ），．当时，．当时，．故．（也可以利用“错位相减法” 2．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为 ，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若实数使得对任意恒成立，求的取值范围．解：（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得：，即，即有，即为，解得，由等比数列不是递减数列，可得，即．（2）由（1）得当为奇数时，随的增大而减小，所以．当为偶数时，随的增大而增大，所以实数使得对任意恒成立，则的取值范围为，3．已知为等差数列，为等比数列，，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，则，可得，，，，，解得，；（Ⅱ）证明：法一：由（Ⅰ）可得，，，，；法二：数列为等差数列，且，，，，，；（Ⅲ），当为奇数时，，当为偶数时，，对任意的正整数，有，和，①，由①可得，②，①②得，，因此．数列的前项和．4．设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求．解：（Ⅰ）是等差数列，是等比数列，公比大于0．设等差数列的公差为，等比数列的公比为，．由题意可得：①；②解得：，，故，（Ⅱ）数列满足，令①，则②，②①得：；故5．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．解：（Ⅰ）等差数列的公差为2，前项和为，，，，成等比数列，，，化为，解得．．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．．当为偶数时，．当为奇数时，．．6．等比数列中．，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且，，中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）如数列满足，求数列的前项和．解：（Ⅰ）当时，不合题意当时，当且仅当，时符合题意当时，不合题意因此，，，所以，所以．（Ⅱ）所以所以当为偶数时，当为奇数时，综上所述