第五章数列专练4—等比数列（一）-2021届高三数学一轮复习

数列专练4—等比数列（一）一、单选题1．在2和8之间插入n个正数，使这n+2数成等比数列，则该数列的公比是（　　）A． B． C． D．2．数列{an}中，a3＝5，a7＝2，若（n∈N*）是等比数列，则a5＝（　　）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．3．已知数列{an}满足log3an+1＝log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6＝9，则＝（　　）A．5 B． C．4 D．﹣34．已知正项等比数列{an}中a9＝9a7，若存在两项am、an，使，则的最小值为（　　）A．5 B． C． D．5．已知Sn为数列{an}的前n项和，﹣2，an，6Sn成等差数列，若t＝a1a2+a2a3+…+anan+1，则（　　）A．﹣＜t≤﹣ B．﹣＜t≤﹣ C．﹣＜t≤﹣ D．﹣＜t≤6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2且n∈N*时，an，Sn，Sn﹣1成等比数列，则a5＝（　　）A． B．﹣ C． D．﹣7．已知数列{an}满足an＝（n∈N*），且对任意的n∈N*都有an+1＞an，则实数p的取值范围是（　　）A．（1，） B．（1，） C．（1，2） D．（，2）8．已知各项都是正数的等比数列{an}满足a7＝a6+2a5，存在两项am，an使得，则的最小值为（　　）A． B． C． D．二、多选题9．设是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有　　A．是公比为的等比数列 B．是公比为4的等比数列 C．是公比为4的等比数列 D．是公为2的等比数列10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是　　A． B． C．的最大值为 D．的最大值为11．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列12．已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是　　A． B． C． D．三、填空题13．设数列为等比数列．若，且，则　　．14．定义为数列的几何平均数，若是等比数列，，它的前11项的几何平均数为，若在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为，则被抽去的项是第　　项．15．若a，b是函数f（x）＝x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于　　．16．已知在等比数列中，，则数列的通项公式为　　．四、解答题17．已知数列的前项和为，，____．是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18．已知数列是等差数列，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是递增的等比数列，且，，求．19．已知等比数列，公比，，5为，的等差中项（1）求数列的通项；（2）若，且，求的值20．已知数列的前项和为，且，，为等差数列．（1）证明：为等比数列；（2）求．数列专练4—等比数列（一）答案1．解：设a1＝2，则an+2＝8，所以qn+1＝＝4，所以q＝．故选：A．2．解：根据题意，设bn＝，则数列{bn}是等比数列，设其公比为q，若a3＝5，a7＝2，则b3＝＝1，b7＝＝4，则q4＝＝4，变形有q2＝2，则b5＝b3q2＝2，则有＝2，解可得a5＝3，选：C．3．解：根据题意，数列{an}满足log3an+1＝log3an+1，则log33an＝log3an+1，即an+1＝3an，即数列{an}是公比为3的等比数列，若a2+a4+a6＝9，则a3+a5+a7＝q（a2+a4+a6）＝27，则＝﹣log3（a3+a5+a7）＝﹣log327＝﹣3，故选：D．4．解：因为正项等比数列{an}中a9＝9a7，所以q2＝＝9，即q＝3，若存在两项am、an，使，则＝27a12，所以m+n＝5，m＞0，n＞0，m≠n），则＝（）＝＝5，当且仅当且n+m＝5即m＝1，n＝5时取等号，故选：A．5．解：∵﹣2，an，6Sn成等差数列，∴2an＝6Sn﹣2，①当n＝1时，2a1＝6S1﹣2，解得a1＝，当n≥2时，2an﹣1＝6Sn﹣1﹣2，②由①﹣②，得：2an﹣2an﹣1＝6an，解得，∴数列{an}是以为首项，﹣为公比的等比数列，∴an＝＝﹣（﹣）n，∴t＝a1a2+a2a3+…+anan+1＝﹣＝﹣[1﹣（）n]，∵n∈N*，∴﹣[1﹣（）n]∈（﹣，﹣]，∴﹣＜t≤﹣．故选：C．6．解：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2且n∈N*时，an，Sn，Sn﹣1成等比数列，∴Sn2＝an•（Sn﹣1）⇒Sn2＝（Sn﹣Sn﹣1）•（Sn﹣1）⇒Sn﹣1﹣Sn＝SnSn﹣1，∴﹣＝1；∴数列{}是以＝1为首项，1为公差的等差数列；∴＝1+（n﹣1）＝n，∴Sn＝，∴a5＝S5﹣S4＝﹣＝﹣，故选：D．7．解：由题可知，将数列分为两部分进行研究：（1）在a1到a6上，an＝（2﹣p）n﹣2，若数列为递增数列，则2﹣p＞0，解得：p＜2，（2）在a7到an（n＞7）上，若数列为递增数列，则p＞1，（3）数列为递增数列，则a7＞a6，即：p＞（2﹣p）×6﹣2，解得：，综上可知，p的取值范围为，故选：D．8．解：设等比数列的公比为q，则由a7＝a6+2a5，可得a6q＝a6+2，由于an＞0，所以上式两边除以a6得到，q＝1+，解得q＝2或q＝﹣1，因为各项为正，所以q＝2，由于存在两项am，an使得，所以am•an＝32a12，所以qm+n﹣2＝32，所以m+n＝7，当m＝1，n＝6时，＝，当m＝2，n＝5时，＝当m＝3，n＝4时，＝当m＝4，n＝3时，＝当m＝5，n＝2时，＝当m＝6，n＝1时，＝．所以的最小值为．故选：D．9．解：由题设知：公比，，选项正确；，选项正确；，选项错误；，选项错误，故选：．10．解：，，，，由，得，，若不然，，则，又，，不成立，又时，有，显然与已知矛盾，综上，有，故选项正确；，，数列是正项的递减数列，没最大值，故选项错误；又，，，最大，故选项错误；选项正确．故选：．11．解：，，，，公比为整数．解得．，．，数列是公比为2的等比数列．．．数列是公差为的等差数列．综上可得：只有正确．故选：．12．解：等比数列的各项均为正数，，，，，若，则一定有，不符合由题意得，，．，，，，满足的最大正整数的值为12．故选：．13．解：数列为等比数列．若，且，，则，故答案为：32．14．解：设等比数列的公比为，设被抽去项为，若等比数列的前11项的几何平均数为，则有，所以，又由，得，解得，故数列的通项公式为，若在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为，则剩下10项的积为，所以，所以，解得，故被抽去的项是第11项．故答案为：11．15．解：由题意可得：a+b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p＝a+b＝5，q＝1×4＝4，则p+q＝9．故答案为：9．16．解：因为，由等比数列的性质可知，，故，，所以，所以，解可得，或，当时，，，当时，，故答案为：，或17．解：若选①，且；说明数列是首项为1，公比为2的等比数列；，；；若，，成等比数列，则；左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数，使得，，成等比数列；若选②，即；且适合上式；所以：说明是首项为1，公差为1的等差数列；，；若，，成等比数列，则舍）；即存在正整数，使得，，成等比数列；若选③，；且适合上式；若，，成等比数列，则舍）；即存在正整数，使得，，成等比数列．18．解：（Ⅰ）由已知可得．（2分），．（3分）．（4分）（Ⅱ）由已知可得分又是递增的等比数列，故解得：，，分，，，分19．解：（1）等比数列，公比，，5为，的等差中项，，解得，，．（2），令，则，，相减，得：，解得．20．证明：（1）设，则，，，是首项为4，公比为2的等比数列．（6分）解：（2）数列是等差数列，，，，，①，②由①②，得：，．（12分）