第五章数列专练10—证明不等式-2021届高三数学一轮复习

数列专练10—证明不等式1．已知数列满足：且（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）证明：．解：（1）由题得：，即，故即数列为等比数列，（3分），（7分）（2）由（1）知（8分）2．设各项均为正数的数列的前项和为满足，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．解：（1）令得：，即．．，，即．（2）由得：．，．．当时，，又，．（3）由（2）可知，，，当时，显然有；当时，所以，对一切正整数，有． 3．设数列的前项和为，已知，，．（Ⅰ） 求数列的通项公式；（Ⅱ） 证明：对一切正整数，有．（Ⅰ）解：，．①当时，②由①②，得，，，，数列是以首项为，公差为1的等差数列．，．当时，上式显然成立．；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，①当时，，原不等式成立．②当时，原不等式亦成立．③当时，，，当时，原不等式亦成立．综上，对一切正整数，有．4．设数列的前项和为，满足，，且，，成等差数列．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．解：（1）在中，令得：，令得：，解得：，又解得（2）由，①，②①②得：，又，也满足，所以对成立，又，，，；（3），5．数列满足，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：．（1）解：令，得；令，有，得；令，有，得．（2）解：，（1）式所以，当时，，（2）式两式相减得：，．当时，也适合，．（3）证明：，当时，；当时，；当时，，，综合可得：．   6．设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记，，证明：，．解：（Ⅰ）设数列的公差为，由题意得，解得，，，．，，数列满足：对每个，，，成等比数列．，解得，解得，．（Ⅱ）证明：，，用数学归纳法证明：①当时，，不等式成立；②假设，时不等式成立，即，则当时，，即时，不等式也成立．由①②得，．