第五章数列专练7—数列求和（错位相减）-2021届高三数学一轮复习

数列专练7—数列求和（错位相减）1．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且，，成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．1解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，即，即有，即为，解得，由等比数列不是递减数列，可得，即；（Ⅱ），可得．前项和，，两式相减可得，，化简可得．2．已知是各项均为正数的等比数列，且，．（1）求数列通项公式；（2） 为各项非零的等差数列，其前项和为，已知，求数列的前项和．1解：（1）记正项等比数列的公比为，因为，，所以，，解得：，所以；（2）因为 为各项非零的等差数列，所以，又因为，所以，，所以，，两式相减得：，即，即．3．已知数列满足为实数，且，，，，且，，成等差数列（1）求的值和的通项公式；（2）设，，求数列的前项和．解：（1）为实数，且，，，，，，，又，，成等差数列，，即，解得或（舍，；（2）由（1）知，，记数列的前项和为，则，，两式相减，得．4．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前项和为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式．解：（Ⅰ）等比数列的公比，且，是，的等差中项，可得，解得，由，可得舍去），则的值为2；（Ⅱ）设，可得时，，时，可得，上式对也成立，则，即有，可得，，相减可得，化简可得．5．设为非零实数，（Ⅰ）写出，，并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；（Ⅱ）设，求数列的前项和．解：（Ⅰ）由题意可知：，，，当，时，，．所以，当时，是以为首项，为公比的等比数列．当时，，，此时不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，，，当时，当时，，，．综上可知：，．