2020_2021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ对数与对数函数理20201013151 试卷
展开对数与对数函数 1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)．(2)对数的性质①负数和零没有对数；②loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1)；③＝N(a>0，a≠1，且N>0)；④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．(3)对数的换底公式logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．3．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？②化简.提示 ①logab·logba＝1；②＝logab.2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．提示 0<c<d<1<a<b. 1．（2020•新课标Ⅰ）若，则 A． B． C． D．【答案】B【解析】因为；因为即；令，由指对数函数的单调性可得在内单调递增；且（a）；故选．2．（2020•新课标Ⅰ）设，则 A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则，则则，故选．3．（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A． B．10.1 C． D．【答案】A【解析】设太阳的星等是，天狼星的星等是，由题意可得：，，则．故选．4．（2017•北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是 （参考数据：A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意：，，根据对数性质有：，，，故选．5．（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是 A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的定义域和值域均为，函数的定义域和值域均为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域和值域均为，满足要求；故选．6．（2020•天津）设，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．【答案】D【解析】，，则，，，故选．7．（2020•新课标Ⅲ）设，，，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，．故选．8．（2020•新课标Ⅲ）已知，．设，，，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】，；，，，；，，，，综上，．故选．9．（2019•天津）已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可知：，，，．故选．10．（2019•天津）已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可知：，．，最大，、都小于1．，．而，．，．故选．11．（2019•新课标Ⅰ）已知，，，则 A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，故选．12．（2018•天津）已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，且，，则，．故选．13．（2018•天津）已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，则，，的大小关系，故选．14．（2018•新课标Ⅲ）设，，则 A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，，．故选．15．（2016•浙江）已知，若，，则__________，__________．【答案】4；2【解析】设，由知，代入得，即，解得或（舍去），所以，即，因为，所以，则，解得，，故答案为：4；2．16．（2016•上海）若，则__________．【答案】7【解析】，可得，解得．故答案为：7． 1．（2020•Ⅱ卷模拟）设，，，则、、的大小关系是 A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，则；故选．2．（2020•射洪市校级一模）已知，，，则 A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，得；；，且，；，且，；．故选．3．（2020•镜湖区校级模拟）已知，则，，的大小关系是 A． B． C． D．【答案】B【解析】，，即，，，即，，，，故选．4．（2020•泸州四模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能力的等级，地震能力越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级．其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，5级地震已经给人的震感已比较明显，8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的 A．30倍 B．倍 C．100倍 D．1000倍【答案】D【解析】由可得，即，．当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为；所以，两次地震的最大振幅之比是：；即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．故选．5．（2020•庐阳区校级模拟）已知为自然对数的底数，又，，，则 A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，则．故选．6．（2020•武昌区校级模拟）已知，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，则．故选．7．（2020•来宾模拟）已知，若，则的取值范围为 A．，， B． C． D．，，【答案】B【解析】由题意可得，解得，即函数的定义域为，因为在区间上，函数单调递增，函数单调递增，所以函数在区间上单调递增，又（2），所以，即为（2），所以，解得或．故选．8．（2020•丹东二模）已知地震释放出的能量与地震的里氏震级的关系为，2011年3月11日，日本北部海域发生的里氏9.0级地震释放出的能量设为，2008年5月12日，我国汶川发生的里氏8.0级地震释放出的能量设为，那么 A．1.5 B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，，，，，即．故选．9．（2020•永康市模拟）设，，，则 A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，．由，比较与4的大小即可；；，即故选．10．（2020•金安区校级模拟）已知函数，若，，，则有 A．（b）（a）（c） B．（a）（b）（c） C．（a）（c）（b） D．（c）（a）（b）【答案】B【解析】在上是增函数，且时，，时，，，，，，，，（a）（b）（c），（a）（b）（c）．故选．11．（2020•让胡路区校级三模）若函数与函数互为反函数，则 A．9 B．11 C．16 D．18【答案】D【解析】因为函数与函数互为反函数，所以，所以，故选．12．（2020•海口模拟）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为，则的整数部分为 A．2566 B．2567 C．2568 D．2569【答案】B【解析】由题可知，．因为，所以，所以的整数部分为2567．故选．13．（2020•香坊区校级三模）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若，，则的值约为 A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669【答案】A【解析】由，，所以；即的值约为1.322．故选．14．（2020•梅河口市校级模拟）设，，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，，，故选．15．（2020•平谷区二模）溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔升，则胃酸的是（参考数据： A．1.398 B．1.204 C．1.602 D．2.602【答案】C【解析】由 可得，．故选．16．（2020•枣庄模拟）已知，若，，则 A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】对两边取以为底的对数，得，即，同理有：，代入，得，因为，所以，所以，，故选．17．（2020•濮阳一模）在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是，2，，的概率为，这被称为本福特定律．以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为 A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，时，概率为，即一个数的首位数字是1的概率约为．故选．18．（2020•邯郸一模） A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选．19．（2020•绵阳模拟）已知，则 A．4 B．6 C． D．9【答案】D【解析】，，，故选．20．（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是 A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，解得，则函数的定义域是，故选．21．（2018•辽宁模拟）函数的定义域为 A．或 B． C． D．或【答案】A【解析】由题意得：，解得：或，函数的定义域是：或，故选．22．（2020•怀柔区一模）函数的图象是 A． B． C． D．【答案】D【解析】则函数的定义域为：，即函数图象只出现在轴右侧；值域为：即函数图象只出现在轴上方；在区间上递减的曲线，在区间上递增的曲线．分析、、、四个答案，只有满足要求故选．23．（2019•运城模拟）已知函数满足（a），则实数的取值范围是 A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意可得，，在上单调递减，在上单调递增；根据题意可知，；①当，时，（a），解得；；②当时，（a）不符合题意（舍；③当，时，（a），解得；综上，的取值范围为．故选．24．（2020•柯桥区二模）16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发现了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，伽利略说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙”．直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系．若，则__________，__________．【答案】，1【解析】，指数式化为对数式得：，，，故答案为：，1．25．（2020•徐州模拟）函数的定义域是__________．【答案】，，【解析】要使函数有意义，则需满足解之得，且，函数的定义域是，，．故答案是，，．26．（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是__________．【答案】，【解析】由，解得：．函数的定义域是，．故答案为：，．27．（2020•辽宁二模）已知函数且的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则__________．【答案】2【解析】令得：，此时（2），函数且的图象恒过定点，即，又点在函数的图象上，，，故答案为：2．28．（2020•麒麟区校级二模）函数恒过点__________．【答案】或【解析】令得，或6，此时，所以函数过定点或，故答案为：或．29．（2020•中卫三模）已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】当时，由得：，解得：，；当时，由得：，，综上所述，不等式的解集为，故答案为：．30．（2020•阳泉一模）若函数且的图象过定点，则__________．【答案】2【解析】令，可得，且，故函数且的图象过定点，再由函数且的图象过定点，可得、，故，故答案为 2．31．（2020•九江三模）如图所示，正方形的四个顶点在函数，，的图象上，则__________．【答案】2【解析】设，，，，，，，，则，，又，，即，，为正方形，；可得，解得．故答案为：2．32．（2018•江苏模拟）函数，若对任意，，如果，则的值为__________．【答案】1009【解析】函数，若对任意，，如果，可得，可得，则．故答案为：1009．33．（2020•临汾模拟）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）当函数的定义域为时，求实数的取值范围．【解析】函数的定义域满足，即，（1）当时，设，则．（3分），．（5分）（2）由知，的最小值为4，7分，的取值范围是．（10分）34．（2019•西湖区校级模拟）已知，．（1）求的定义域．（2）证明为奇函数．（3）求使成立的的取值范围．【解析】（1），的定义域为：，解得，的定义域为．（2），，，为奇函数．（3），，由，得，当时，有，解得；当时，有，解得；当时，使成立的的取值范围是，当时，使成立的的取值范围是．35．（2019•西湖区校级模拟）设函数，且．（Ⅰ）求（3）的值；（Ⅱ）令，将表示成以为自变量的函数；并由此，求函数的最大值与最小值及与之对应的的值．【解析】（Ⅰ）函数，且，故（3）．（Ⅱ）令，则，且，令，故当时，函数取得最小值为，此时求得；当时，函数取得最大值为12，此时求得．36．（2019•西湖区校级模拟）已知函数．（1）若，求函数的定义域．（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．【解析】（1）若，则要使函数有意义，需，解得若，函数的定义域为．（2）若函数的值域为，则能取遍一切正实数，△，即，，若函数的值域为，实数的取值范围为，，（3）若函数在区间上是增函数，则在区间上是减函数且在区间上恒成立，，且即且37．（2019•西湖区校级模拟）计算．（1）；（2）．【解析】（1），（2）．38．（2019•上海模拟）已知函数．（1）若函数的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数的最小值．【解析】（1）由题意知函数的反函数是其本身，所以的反函数，，反函数为，所以．（2）当时，，，则，故最小值为．39．（2019•西湖区校级模拟）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．【解析】（1）依题意有，解得，所以函数的定义域是．（2）由（1）知定义域关于原点对称，，，函数为偶函数．40．（2019•西湖区校级模拟）计算：．【解析】原式．
