鲁科版 (2019)必修 第二册第1章 功和机械能本章综合与测试学案及答案

这是一份鲁科版 (2019)必修 第二册第1章 功和机械能本章综合与测试学案及答案，共12页。




核心要点 变力做功的求解方法


[要点归纳]


1.转换研究对象法


如图所示，人站在地上以恒力拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功。拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车做的功。





2.平均值法


当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力对位移的平均值eq \(F,\s\up6(－))＝eq \f(F1＋F2,2)，再由W＝eq \(F,\s\up6(－))scs α计算功，如弹簧弹力做的功。


3.图像法


如图所示，在F－s图像中，若能求出图线与s轴所围的面积，则这个面积即为F在这段位移s上所做的功。类似在v－t图像中，图线与t轴所围的面积表示位移。





[经典示例]


[例1] 如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力F缓慢拉木块，使木块前进x0，求这一过程中拉力对木块做了多少功。





解析 方法一 平均值法


因该力与位移成正比，可用平均力eq \(F,\s\up6(－))＝eq \f(kx0,2)求功，即


W＝eq \(F,\s\up6(－))x0＝eq \f(1,2)kxeq \\al(2,0)


方法二 图像法





F－x图像如图所示，△Ox0A的面积大小即为克服弹力做的功W＝eq \f(1,2)kxeq \\al(2,0)


即拉力做的功W拉＝W＝eq \f(1,2)kxeq \\al(2,0)。


答案 eq \f(1,2)kxeq \\al(2,0)


[针对训练1] 静止在水平面上的物体M，受到一水平向右的推力作用，在推力作用下向右运动了4 m，水平推力随物体位移的变化图像如图所示，推力的最大值为4 N，且力随位移的变化图线恰好为四分之一圆周，求水平推力在此过程中所做的功。





解析 推力随位移逐渐减小，不属于恒力做功，不能直接用功的定义式求功。由分析可知力的方向始终与位移方向相同，仅大小变化，可把位移分成无数小段，在每一小段位移内，力可认为是恒力，则每一小段恒力做的功可求出来，再把每小段恒力做的功求和。由图像的物理意义可知图线与坐标轴所包围的面积恰好是推力所做的功，所以W＝eq \f(1,4)πR2＝eq \f(1,4)×3.14×42 J＝12.56 J。


答案 12.56 J


核心要点 机车的两种启动方式


[要点归纳]


机车启动通常有两种方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动。


1.机车以恒定功率启动的运动过程





故机车达到最大速度时a＝0，F＝f，P＝Fvm＝fvm，这一启动过程的v－t图像如3中图甲所示。


2.机车以恒定加速度启动的运动过程





设机车维持匀加速直线运动的时间为t1，则Fv1＝P⇒(f＋ma)at1＝P，那么t1＝eq \f(P,a（f＋ma）)，此时速度v1＝at1＝eq \f(P,f＋ma)，这一启动过程的v－t关系图像如3中图乙所示。


3.两种过程的v－t图像、P－t图像对比





4.特别注意


(1)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度，并未达到整个过程的最大速度vm。


(2)P＝Fv中因为P为机车牵引力的功率，所以对应的F是牵引力并非合力，这一点在计算时需要注意。


[经典示例]


[例2] 某汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍，g取10 m/s2。


(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车的速度为5 m/s时，其加速度是多少？


(2)若汽车以恒定的加速度0.5 m/s2启动，则这一过程能维持多长时间？


审题指导 (1)汽车达到最大速度时，牵引力与阻力大小相等。


(2)匀加速运动结束时，汽车的速度并没有达到最大速度，而是刚达到最大功率。


解析 (1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值vm，故最大速度为


vm＝eq \f(P,f)＝eq \f(60×103,0.1×5 000×10) m/s＝12 m/s


由P＝Fv，F－f＝ma可得速度v＝5 m/s时加速度为


a＝eq \f(F－f,m)＝eq \f(P,mv)－eq \f(f,m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(60×103,5 000×5)－\f(0.1×5 000×10,5 000))) m/s2＝1.4 m/s2。


(2)汽车以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动所能达到的最大速度为


vm′＝eq \f(P,F′)＝eq \f(P,f＋ma′)＝eq \f(60×103,0.1×5 000×10＋5 000×0.5) m/s


＝8 m/s


由于这一过程中汽车做匀加速直线运动，满足vm′＝v0＋a′t，


故这一过程能维持的时间为t＝eq \f(vm′－v0,a′)＝eq \f(8－0,0.5) s＝16 s。


答案 (1)12 m/s 1.4 m/s2 (2)16 s


方法凝练 分析汽车启动类问题时，必须注意以下三点


(1)明确汽车的启动方式，是以恒定功率启动，还是以恒定加速度启动。


(2)抓住两个基本公式：功率P＝Fv(P是汽车的实际功率，F是汽车的牵引力，v是汽车的速度)；根据牛顿第二定律有F－f＝ma(f是汽车受到的阻力)。


(3)正确分析汽车启动过程中各物理量在各个阶段(如匀加速运动阶段、变加速运动阶段、匀速运动阶段)的变化情况。


[针对训练2] (多选)下列关于汽车运动的论述，正确的是( )


A.汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度、加速度均逐渐增大


B.汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度逐渐增大，加速度逐渐减小；加速度为零时，速度最大


C.汽车匀速行驶时最大允许速度受发动机额定功率限制，要提高最大允许速度，必须增大发动机的额定功率


D.汽车在水平路面上以额定功率P行驶，则当牵引力F与阻力f平衡时，汽车的速度最大


解析 汽车以额定功率启动后，根据公式P＝Fv可知，功率一定(为额定功率P额)，速度增大，牵引力必减小，阻力恒定不变，因此，汽车所受的合力不断减小，加速度逐渐减小，直至汽车以最大速度匀速运动，A错误，B正确；根据公式P＝Fv以及F－f＝ma可知，加速度等于零时，速度最大，因此牵引力F等于恒定的阻力f时，汽车的速度最大，故汽车的最大速度vm＝eq \f(P,f)，功率越大，汽车的最大速度就越大，C、D正确。


答案 BCD





1.(变力做功问题)如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道eq \(AB,\s\up6(－))，槽道由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力F所做的功为( )





A.0 B.FR


C.eq \f(3,2)πFR D.2πFR


解析 在拉动的过程中，力F的方向总是与速度同向，用微元法的思想，在很小的一段位移内力F可以看成恒力，小球运动路程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πR＋π×\f(R,2)))，由此得W＝eq \f(3,2)πFR，C正确。


答案 C


2.(变力做功问题)(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )





A.重力做功为mglB.重力做功为－eq \f(1,2)mgπl


C.F阻做功为－mglD.F阻做功为－eq \f(1,2)F阻πl


解析 小球下落过程中，重力做功为mgl，A正确，B错误；空气阻力F阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故F阻做功为－F阻·eq \f(1,2)πl，C错误，D正确。


答案 AD


3.(机车的启动问题)质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小一定。当汽车速度为v时，汽车做匀速运动；当汽车速度为eq \f(v,4)时，汽车的瞬时加速度的大小为( )


A.eq \f(P,mv) B.eq \f(2P,mv)


C.eq \f(3P,mv) D.eq \f(4P,mv)


解析 由题意知，汽车所受阻力f＝eq \f(P,v)，汽车速度为eq \f(v,4)时的牵引力F＝eq \f(P,\f(v,4))＝eq \f(4P,v)，由牛顿第二定律得F－f＝ma。联立以上三式求得a＝eq \f(3P,mv)，C正确。


答案 C


4.(机车的启动问题)(多选)如图所示为一汽车在平直的公路上由静止开始运动的速度图像，汽车所受阻力恒定。图中OA为一段直线，AB为一曲线，BC为一平行于时间轴的直线，则( )





A.OA段汽车发动机的功率是恒定的


B.OA段汽车发动机的牵引力恒定


C.AB段汽车发动机的功率可能是恒定的


D.BC段汽车发动机的功率是恒定的


解析 OA为一段直线，说明OA段汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，根据P＝Fv可知，速度增大，牵引力不变，功率增大，故A错误，B正确；AB为一曲线，斜率逐渐减小，则加速度逐渐减小，牵引力减小，根据P＝Fv可知，牵引力减小，速度增大，功率可能不变，故C正确；BC为一平行于时间轴的直线，则汽车做匀速直线运动，即速度不变，牵引力等于阻力也不变，根据P＝Fv可知，功率不变，故D正确。


答案 BCD





基础过关


1.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )





A.W1＞W2B.W1＜W2


C.W1＝W2D.无法确定W1和W2的大小关系


解析 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象法，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δs，Δs为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图可知，ΔsAB＞ΔsBC，故W1＞W2，A正确。


答案 A


2.中国已成为世界上高铁运营里程最长、在建规模最大的国家。报道称，新一代高速列车正常持续运行牵引力功率达9 000 kW，速度为300 km/h。假设一列高速列车从杭州到金华运行路程为150 km，则( )


A.列车从杭州到金华消耗的电能约为9 000 kW·h


B.列车正常持续运行时的阻力大小约为105 N


C.如果该列车以150 km/h运动，则牵引功率为4 500 kW


D.假设从杭州到金华阻力大小不变，则列车克服阻力做功大小等于阻力与位移的乘积


解析 消耗的电能W＝Pt＝9 000×eq \f(150,300) kW·h＝4 500 kW·h，故选项A错误；列车正常持续运行时，阻力大小等于牵引力大小，牵引力F＝eq \f(P,v)＝eq \f(9×106,\f(3×105,3 600)) N≈105 N，选项B正确；由于不知阻力变化情况，选项C无法判断；假设从杭州到金华阻力不变，则列车克服阻力做功大小等于阻力与路程的乘积，故选项D错误。


答案 B


3.(多选)某汽车在平直公路上以功率P、速度v0匀速行驶时，牵引力为F0。在t1时刻，司机减小油门，使汽车的功率减为eq \f(P,2)，此后保持该功率继续行驶，t2时刻，汽车又恢复到匀速运动状态。行驶过程中汽车所受阻力大小不变，有关汽车牵引力F、速度v的说法，其中正确的是( )


A.t2后的牵引力仍为F0


B.t2后的牵引力小于F0


C.t2后的速度仍为v0


D.t2后的速度小于v0


解析 由P＝F0v0可知，当汽车的功率突然减小为eq \f(P,2)时，瞬时速度还没来得及变化，则牵引力突然变为eq \f(F0,2)，汽车将做减速运动，随着速度的减小，牵引力逐渐增大，汽车做加速度逐渐减小的减速运动，当速度减小到使牵引力又等于阻力时，汽车再做匀速运动，由eq \f(P,2)＝F0·v2可知，此时v2＝eq \f(v0,2)，故A、D正确。


答案 AD


4.汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。汽车所受阻力大小不变，下面四个图中，哪个图像正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系( )





解析 汽车在匀速行驶时牵引力等于阻力，而当功率减半时速度不变，由此可知牵引力减半，故阻力大于牵引力，车将减速，因功率恒定，故做变减速运动，而牵引力变大，由a＝eq \f(f－F,m)知加速度逐渐减小，当牵引力等于阻力后，汽车将做匀速运动。由以上分析可知C项正确。


答案 C


5.如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小s变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，g取10 m/s2。则( )





A.物体先做加速运动，推力撤去后才开始做减速运动


B.运动过程中推力做的功为200 J


C.物体在运动过程中的加速度先变小后不变


D.因推力是变力，无法确定推力做功的大小


解析 滑动摩擦力f＝μmg＝20 N，物体先加速，当推力减小到20 N时，加速度减小为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后做匀减速运动，选项A、C错误；F－s图像与横轴所围图形的面积表示推力做的功，W＝eq \f(1,2)×100 N×4 m＝200 J，选项B正确，D错误。


答案 B


6.一木块前端有一滑轮，轻绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图所示。当用力F拉绳使木块前进位移s时，力F做的功(不计滑轮摩擦)是( )





A.Fscs θ B.Fs(1＋cs θ)


C.2Fscs θ D.2Fs


解析 法一 如图所示，力F作用点的位移l＝2scs eq \f(θ,2)，


故拉力F所做的功W＝Flcs α＝2Fscs2 eq \f(θ,2)＝Fs(1＋cs θ)。





法二 可看成两股绳都在对木块做功W＝Fs＋Fscs θ＝Fs(1＋cs θ)，则选项B正确。


答案 B


能力提升


7.(多选)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动。汽车所受阻力大小不变，图中能正确表示这一过程中汽车牵引力F和速度v随时间t变化的图像是( )





解析 由P＝Fv可判断，开始时汽车做匀速运动，则F0＝f，P＝F0v0，v0＝eq \f(P,f)，当汽车功率减小一半P′＝eq \f(P,2)时，汽车开始做变减速运动，其牵引力减小为F1＝eq \f(P′,v)＝eq \f(P,2v)＝eq \f(F0,2)，加速度大小为a＝eq \f(f－F1,m)＝eq \f(f,m)－eq \f(P,2mv)，由此可见，随着汽车速度v减小，其加速度a也减小，最终以v＝eq \f(v0,2) 做匀速运动，A正确；同理，可判断出汽车的牵引力由F1＝eq \f(F0,2) 最终增加到F0，D正确。


答案 AD


8.近年来，被称为“绿色环保车”的电动车成了不少市民购买的首选，电动车在出厂时都要进行检测，在检测某款电动车性能的实验中，质量为8×102 kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出F－eq \f(1,v)图像，如图所示(图中AB、BO均为直线)。假设电动车行驶中所受阻力恒定，求此过程中：





(1)电动车的额定功率；


(2)电动车由静止开始运动，经过多长时间，速度达到2 m/s?


解析 由F－eq \f(1,v)图像知，AB段对应电动车加速过程中保持牵引力F＝2 000 N恒定不变，即做匀加速直线运动；BO段中直线的斜率k＝eq \f(F,\f(1,v))＝Fv保持恒定不变，对应电动车在这一阶段以额定功率加速行驶。


(1)当电动车达到最大速度vmax＝15 m/s时，电动车的牵引力F＝f＝400 N，其中f为地面对电动车的阻力。


所以电动车的额定功率


P＝fvmax＝400×15 W＝6 000 W。


(2)电动车匀加速行驶过程中的加速度


a＝eq \f(F－f,m)＝eq \f(2 000－400,8×102) m/s2＝2 m/s2，


电动车刚达到额定功率时其速度


v＝eq \f(P,F)＝eq \f(6 000,2 000) m/s＝3 m/s，


之后它将做加速度减小的变加速运动。


故当电动车的速度v′＝2 m/s时，正处于匀加速阶段，则这一过程所用时间t＝eq \f(v′,a)＝eq \f(2,2) s＝1 s。


答案 (1)6 000 W (2)1 s