鲁科版 (2019)必修 第一册第2章 匀变速直线运动本章综合与测试课时练习

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习题课 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式的应用








匀变速直线运动的平均速度公式[学生用书P28]


问题导引


一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，经过一段时间末速度为v.


(1)画出物体的v－t图像，求出物体在这段时间内的平均速度．


(2)在图像中表示出中间时刻的瞬时速度veq \s\d9(\f(t,2))，并求出veq \s\d9(\f(t,2)).(结果用v0、v表示)


[要点提示] (1)v－t图像如图所示





因为v－t图像与t轴所围面积表示位移，t时间内物体的位移可表示为s＝eq \f(v0＋v,2)·t①


平均速度eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(s,t)②


由①②两式得eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋v,2).


(2)由图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：veq \s\d9(\f(t,2))＝eq \f(v0＋v,2).


【核心深化】


三个平均速度公式及适用条件


1.eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(s,t)，适用于所有运动．


2.eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋v,2)，适用于匀变速直线运动．


3.eq \(v,\s\up6(－))＝veq \s\d9(\f(t,2))，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动．


关键能力1 平均速度公式的应用


物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用时间t＝20 s，总位移为300 m，则物体运动的最大速度为( )


A．15 m/s B．30 m/s


C．7.5 m/s D．无法求解


[解析] 设最大速度为vm，匀加速直线运动过程：eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)(0＋vm)＝eq \f(1,2)vm，匀减速直线运动过程：eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)(vm＋0)＝eq \f(1,2)vm，所以整个运动过程的平均速度为eq \f(vm,2)＝eq \f(s,t)＝eq \f(300 m,20 s)，解得vm＝30 m/s.


[答案] B


关键能力2 平均速度和中间时刻的瞬时速度


沿直线做匀变速运动的质点在第一个0.5 s内的平均速度比它在第一个1.5 s内的平均速度大2.45 m/s，以质点初始时刻的运动方向为正方向，则质点的加速度为( )


A．2.45 m/s2 B．－2.45 m/s2


C．4.90 m/s2 D．－4.90 m/s2


[解析] 质点在第一个0.5 s内的平均速度为v1，即在t1＝0.25 s时的速度为v1；在第一个1.5 s内的平均速度为v2，即在t2＝0.75 s时速度为v2.由题意得：v1－v2＝2.45 m/s，故a＝eq \f(v2－v1,t2－t1)＝eq \f(－2.45,0.75－0.25) m/s2＝－4.90 m/s2，D正确．


[答案] D


【达标练习】


1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )


A．2 m/s B．10 m/s


C．2.5 m/s D．5 m/s


解析：选D.根据平均速度公式可知eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)＝eq \f(v0＋vt,2)，即eq \f(50,5) m/s＝eq \f(v0＋15 m/s,2)，得v0＝5 m/s，所以D选项正确．


2．汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度达到v时立即做匀减速直线运动，最后停止，运动的全部时间为t，则汽车通过的全部位移为( )


A.eq \f(1,3)vt B．eq \f(1,2)vt


C.eq \f(2,3)vt D．eq \f(1,4)vt





解析：选B.汽车的速度－时间图像如图所示，由于图线与时间轴所围“面积”等于位移的大小，故位移s＝eq \f(1,2)vt，B对．


位移差公式Δs＝aT2[学生用书P29]


问题导引


一辆汽车以加速度a从A点开始向右做匀加速直线运动，经过时间t到达B点，再经过时间t到达C点，则sBC－sAB等于多少？


[要点提示] at2


设汽车的初速度为v0，


自计时起t时间内的位移


sAB＝v0t＋eq \f(1,2)at2①


在第2个t时间内的位移


sBC＝v0·2t＋eq \f(1,2)a(2t)2－sAB＝v0t＋eq \f(3,2)at2②


由①②两式得


sBC－sAB＝v0t＋eq \f(3,2)at2－v0t－eq \f(1,2)at2＝at2.


【核心深化】


位移差公式


1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δs＝s2－s1＝aT2.


2．应用


(1)判断物体是否做匀变速直线运动


如果Δs＝s2－s1＝s3－s2＝…＝sn－sn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．


(2)求加速度


利用Δs＝aT2，可求得a＝eq \f(Δs,T2).


有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度和加速度是多少．


[解析] 由题意可画出物体的运动示意图：





法一：逐差法


由Δs＝aT2可得a＝eq \f(Δs,T2)＝eq \f(64－24,42) m/s2＝2.5 m/s2①


又s1＝vAT＋eq \f(1,2)aT2②


vC＝vA＋a·2T③


由①②③式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.


法二：平均速度公式法


连续两段时间T内的平均速度分别为


eq \x\t(v)1＝eq \f(s1,T)＝eq \f(24,4) m/s＝6 m/s


eq \x\t(v)2＝eq \f(s2,T)＝eq \f(64,4) m/s＝16 m/s


由于B是A、C的中间时刻，则eq \x\t(v)1＝eq \f(vA＋vB,2)，


eq \x\t(v)2＝eq \f(vB＋vC,2)


又vB＝eq \f(vA＋vC,2)＝eq \f(eq \x\t(v)1＋eq \x\t(v)2,2)＝eq \f(6＋16,2) m/s＝11 m/s


解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s


其加速度a＝eq \f(vC－vA,2T)＝eq \f(21－1,2×4) m/s2＝2.5 m/s2.


法三：基本公式法


由位移公式得：s1＝vAT＋eq \f(1,2)aT2


s2＝vA·2T＋eq \f(1,2)a(2T)2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(vAT＋\f(1,2)aT2))


vC＝vA＋a·2T


将s1＝24 m，s2＝64 m，T＝4 s代入上式，


解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.


[答案] 1 m/s 2.5 m/s2


(多选)(2019·新疆高一期中)如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m．且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是( )





A．可以求出物体加速度的大小


B．可以求得CD＝4 m


C．可以求得OA之间的距离为1.125 m


D．可以求得OB之间的距离为12.5 m


解析：选BC.由Δs＝at2可得物体的加速度a的大小为a＝eq \f(Δs,t2)＝eq \f(3－2,t2)＝eq \f(1,t2)，因为不知道时间，所以不能求出加速度，故A错误；根据sCD－sBC＝sBC－sAB＝1 m，可知sCD＝(3＋1) m＝4 m，故B正确；物体经过B点时的瞬时速度为vB＝eq \x\t(v)AC＝eq \f(5,2t)，再 veq \\al(2,t)＝2as可得O、B两点间的距离为sOB＝eq \f(veq \\al(2,B),2a)＝eq \f(25,4t2)·eq \f(t2,2)＝3.125 m，所以O与A间的距离为 sOA＝sOB－sAB＝(3.125－2)m＝1.125 m，故C正确，D错误．


比例关系的应用[学生用书P30]


【核心深化】


初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式


(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)





(2)按位移等分(设相等的位移为x)





(多选)





如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是( )


A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4


B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝eq \r(2)tC＝eq \f(2,\r(3)) tD


C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB


D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD


[解析] 初速度为零的匀加速直线运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，物体到达各点的速率之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，又因为v＝at，故物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝eq \r(2)tC＝eq \f(2,\r(3)) tD，故A错误，B正确；物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度v＝vB，故C正确；物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误．


[答案] BC


(2019·芜湖高一检测)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为s1∶s2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，以下说法正确的是( )


A．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2


B．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶eq \r(2)


C．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2


D．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶eq \r(2)


解析：选B.从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内位移之比为1∶3.根据v2＝2as，走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比v1∶v2＝1∶eq \r(2)，选项B正确．





[随堂检测][学生用书P30]


1．质点由静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内三段位移比为( )


A．1∶4∶25 B．2∶8∶7


C．1∶3∶9 D．2∶2∶1


解析：选C.质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n－1)，所以质点在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内的三段位移比为1∶3∶9，因此选C.


2．在永和中学第20届田径运动会中，高一(3)班的蔡佳彬同学获得男子跳远决赛的冠军，假设他的助跑阶段的运动视为匀变速直线运动，测得他在连续两个2 s内的平均速度分别是4 m/s和10 m/s，则他的加速度为 ( )


A．3 m/s2 B．4 m/s2


C．5 m/s2 D．6 m/s2


解析：选A.匀变速运动中，中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即veq \s\d9(\f(t,2))＝eq \x\t(v)＝eq \f(s,t).则第1个 2 s 内的中间时刻的瞬时速度为v1＝4 m/s，第2个 2 s 内的中间时刻的瞬时速度为v2＝10 m/s，根据速度公式得v2＝v1＋at，则10 m/s＝4 m/s＋a×2 s，加速度为a＝3 m/s2，选项A正确．


3．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为( )


A．1∶3∶5 B．1∶4∶9


C．1∶2∶3 D．1∶eq \r(2)∶eq \r(3)


解析：选A.由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比s1∶s2∶s3＝1∶3∶5，而平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)，三段时间都是1 s，故三段时间内的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确．


4．假设飞机着陆后做匀减速直线运动，经10 s速度减为一半，滑行了450 m，则飞机着陆时的速度为多大？着陆后30 s滑行的距离是多少？


解析：设飞机着陆时的速度为 v0，减速10 s，滑行距离 s＝eq \f(v0＋0.5v0,2) t，


解得 v0＝60 m/s


飞机着陆后做匀减速运动的加速度大小为


a＝eq \f(v0－0.5v0,t)＝3 m/s2


飞机停止运动所用时间为


t0＝eq \f(v0,a)＝20 s


由 v2－veq \\al(2,0)＝2(－a)s′得着陆后30 s滑行的距离是


s′＝eq \f(－veq \\al(2,0),－2a)＝eq \f(－602,－6) m＝600 m.


答案：60 m/s 600 m


[课时作业][学生用书P123(单独成册)]


一、单项选择题


1．某战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为( )


A．vt B．eq \f(vt,2)


C．2vt D．不能确定


解析：选B.因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则x＝eq \(v,\s\up6(－))t＝eq \f(0＋v,2)t＝eq \f(v,2)t，B正确．


2．做匀变速直线运动的质点在第一个1 s内的平均速度比它在第一个3 s内的平均速度大4.5 m/s，以质点的运动方向为正方向，则质点的加速度为( )


A．4.5 m/s2 B．－4.5 m/s2


C．2.25 m/s2 D．－2.25 m/s2


解析：选B.根据中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度，由题意得v0.5＝eq \x\t(v)0～1，v1.5＝eq \x\t(v)0～3，则a＝eq \f(vt－v0,t)＝eq \f(v1.5－v0.5,1.5－0.5) m/s2＝－4.5 m/s2.故选B.


3．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( )





A．1 m/s2 B．2.25 m/s2


C．3 m/s2 D．4.25 m/s2


解析：选B.根据匀变速直线运动规律，Δs＝s2－s1＝aT2，读出s1、s2，代入即可计算．轿车总长4.5 m，相当于提示我们图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为s1＝12 m和s2＝21 m，又T＝2 s，则a＝eq \f(s2－s1,T2)＝eq \f(21－12,22) m/s2＝2.25 m/s2.故选B.


4．汽车刹车后做匀减速直线运动，经过3 s停止运动，那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比s1∶s2∶s3为( )


A．1∶2∶3 B．5∶3∶1


C．1∶4∶9 D．3∶2∶1


解析：选B.刹车过程的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动．根据初速度为零的匀加速直线运动的特点，该逆过程在三个连续1 s内的位移之比为1∶3∶5.所以刹车过程在连续相等的三个1 s内的位移之比为5∶3∶1.故选B.


5．(2019·宿州高一月考)一物体从静止开始做匀加速直线运动，用T表示一个时间间隔，在第3个T时间内的位移为3 m，在第3个T时间末的瞬时速度是 3 m/s.则( )


A．物体的加速度为1 m/s2


B．物体在第1个T时间末的瞬时速度是0.6 m/s


C．时间间隔T＝1 s


D．物体在第1个T时间内的位移为0.6 m


解析：选D.物体从静止开始做匀加速直线运动，则s1∶s3＝1∶5，故s1＝eq \f(s3,5)＝eq \f(3 m,5)＝0.6 m，选项D正确；由题意知，eq \f(1,2)a(3T)2－eq \f(1,2)a(2T)2＝3 m，a·3T＝3 m/s，解得：T＝1.2 s，a＝eq \f(5,6) m/s2，选项A、C错误；物体在第1个T时间末的瞬时速度v1＝aT＝eq \f(5,6)m/s2×1.2 s＝1 m/s，选项B错误．


6．(2019·黄冈高一质检)一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点．已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为( )


A．t0 B．(eq \r(2)－1)t0


C．2(eq \r(2)＋1)t0 D．(2eq \r(2)＋1)t0


解析：选C.由逆向思维可知物体从b到e和从e到a的时间比为1∶(eq \r(2)－1)；即t∶t0＝1∶(eq \r(2)－1)，得t＝(eq \r(2)＋1)t0，由运动的对称性可得从e到b和从b到e的时间相等，所以从e经b再返回e所需时间为2t，即2(eq \r(2)＋1)t0，答案为C.


二、多项选择题


7．如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是( )





A．物体的加速度为20 m/s2


B．物体的加速度为25 m/s2


C．CD＝4 m


D．CD＝5 m


解析：选BC.由匀变速直线运动的规律相邻相等的时间内位移之差为常数，即Δs＝aT2可得：a＝eq \f(BC－AB,T2)＝eq \f(1,0.04) m/s2＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB＝1 m，可知CD＝4 m，故C正确，D错误．


8．一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是( )


A．第2 s内的位移是2.5 m


B．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s


C．质点的加速度是0.125 m/s2


D．质点的加速度是0.5 m/s2


解析：选BD.由Δs＝aT2，得a＝eq \f(s4－s3,T2)＝eq \f(2.5－2,12) m/s2＝0.5 m/s2，s3－s2＝s4－s3，所以第2 s内的位移s2＝1.5 m，A、C错误，D正确；第3 s末的速度等于第3～4 s内的平均速度，所以v3＝eq \f(s3＋s4,2T)＝2.25 m/s，B正确．


9．一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1 s内通过的位移为s1＝3 m，第2 s内通过的位移s2＝2 m，此后又经过位移s3物体的速度减小为0，则下列说法中正确的是( )


A．初速度v0的大小为2.5 m/s


B．加速度a的大小为1 m/s2


C．位移s3的大小为1.125 m


D．位移s3的大小为2.5 m


解析：选BC.匀变速直线运动中，任意两个连续相等时间内的位移之差都相等，即s2－s1＝aT2，解得物体的加速度a＝－1 m/s2，负号表示与速度方向相反；1 s末的速度v1＝eq \f(s1＋s2,2t)＝eq \f(3＋2,2) m/s＝2.5 m/s，由v1＝v0＋at得：v0＝3.5 m/s，由0－veq \\al(2,1)＝2a(s2＋s3)得：s3＝1.125 m，故B、C正确，A、D错误．


三、非选择题


10．地铁站台上，一工作人员在列车启动时，站在第一节车厢的最前端，4 s后，第一节车厢末端经过此人．若列车做匀加速直线运动，求列车开动多长时间，第四节车厢末端经过此人？(每节车厢长度相同)


解析：做初速度为零的匀加速直线运动的物体通过前x，前2x，前3x，…，前nx位移所用的时间之比为


t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n).


故前4节车厢通过的时间和第一节车厢通过的时间之比为t4∶t1＝eq \r(4)∶1＝2∶1，所以t4＝2t1＝8 s.


答案：8 s


11．为了安全，汽车过桥的速度不能太大．一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动，用10 s时间通过一座长120 m的桥，过桥后的速度是14 m/s.请计算：(车身长度不计)


(1)它刚开上桥头时的速度有多大？


(2)桥头与出发点的距离多远？


解析：(1)设汽车刚开上桥头的速度为v1，


则有s＝eq \f(v1＋v2,2)t


v1＝eq \f(2s,t)－v2＝(eq \f(2×120,10)－14)m/s＝10 m/s.


(2)汽车的加速度


a＝eq \f(v2－v1,t)＝eq \f(14－10,10) m/s2＝0.4 m/s2


桥头与出发点的距离s′＝eq \f(veq \\al(2,1),2a)＝eq \f(100,2×0.4) m＝125 m.


答案：(1)10 m/s (2)125 m


12．一物体从斜面顶端沿斜面由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s内的位移为s1，最后3 s内的位移为s2，已知s2－s1＝6 m，s1∶s2＝3∶7，求斜面的总长．


解析：由题意知，物体做初速度为零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3 s．又知eq \f(s1,s2)＝eq \f(3,7)，s2－s1＝6 m，解得s1＝4.5 m，s2＝10.5 m．由于连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故s2＝(2n－1)s1，可得10.5 m＝(2n－1)×4.5 m，解得n＝eq \f(5,3).又因为s总＝n2s1，得斜面总长s总＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))eq \s\up12(2)×4.5 m＝12.5 m.


答案：12.5 m








学习目标
1.掌握三个平均速度公式及其适用条件，会用平均速度公式求解相关问题．


2．会推导Δs＝aT2并会用它解决相关问题.
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内位移之比
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
通过前s、前2s、前3s…时的末速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)
通过前s、前2s、前3s…的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)
通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))