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人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试精品综合训练题
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这是一份人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试精品综合训练题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间:100分钟 满分:120分 姓名:
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图1所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为 （ ）
（A）E、F、G. （B）F、G、H. （C）G、H、E. （D）H、E、F.
图 SEQ 图 \* ARABIC 1
2.下列图形中，不是中心对称图形的是 （ ）
3.如图2，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是 （ ）
（A）AE=BE. （B）=. （C）OE=DE. （D）∠DBC=90°.
图 SEQ 图 \* ARABIC 2
4.如图3，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于 （ ）
（A）12.5°. （B）15°. （C）20°. （D）22.5°
图 SEQ 图 \* ARABIC 3
5.下列条件，四边形ABCD一定有外接圆的是 （ ）
（A）∠A：∠B：∠C：∠D=1：3：3：4.
（B）∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：3：5.
（C）∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：3：5.
（D）∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：3：2.
6.如图4，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为 （ ）
（A）π. （B）6π. （C）3π. （D）1.5π.
图 SEQ 图 \* ARABIC 4
7.如图5，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是 （ ）
（A）25°. （B）40°. （C）50°. （D）65°.
图 SEQ 图 \* ARABIC 5
8.如图6示为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是 （ ）
（A）△ACD的外心. （B）△ABC的外心. （C）△ACD的内心. （D）△ABC的内心.
图 SEQ 图 \* ARABIC 6
9.如图7，已知同心圆O，点P是大圆上一个定点，点A是小圆上的一个动点，连接PA，设PA的最大值为a,最小值为b，若大圆的半径为6，小圆的半径的2，则a+b的值为 （ ）
（A）9. （B）10. （C）12. （D）14.
图 SEQ 图 \* ARABIC 7
10.如图8，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是 （ ）
（A）15°. （B）20°. （C）25°. （D）30°.
图 SEQ 图 \* ARABIC 8
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 如图9，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC= .
图 SEQ 图 \* ARABIC 9
12.如图10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．
图 SEQ 图 \* ARABIC 10
13. ⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，那么∠BAC度数
为 ．
14.如图11，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）．
图 SEQ 图 \* ARABIC 11
15.若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的
面积为 .
16. 如图12，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是 ．
图 SEQ 图 \* ARABIC 12
三、解答题（共66分）
17.（满分5分）有一块三角形废铁板，为节约材料，厂家决定变废为宝，技术革新，可以把它变成一个圆形的炉口，请你帮厂家拿出一个最大利用的方案.
18. （满分8分）如图13，CD是Rt△ABC斜边AB上高，⊙是三角形ACD的内切圆，半径为，⊙是三角形BCD的内切圆，半径为，设三角形ABC的三边长分别为a,b,c.
（1）用a,b,c分别表示，；
（2）计算的值.
图 SEQ 图 \* ARABIC 13
19. （满分8分）如图14,AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，
连接AD、OC、BC，求证：（1）∠EBC=30°；（2）求弧BC的长度.
图 SEQ 图 \* ARABIC 14
20. （满分8分）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式S=，其中a，b，c是三角形的三边长，p=，S是三角形的面积，并给出了证明.
例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：
因为a=3，b=4，c=5
所以p==6
所以S===6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图15，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
图 SEQ 图 \* ARABIC 15
21. （满分8分）如图16，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）
图 SEQ 图 \* ARABIC 16
22. （满分8分）如图17所示，点E是直角三角形ABC斜边AB的中点，点D是三角形ABC的内心，且∠A=30°.
（1）求证：DE=DC；
（2）求∠DEC的度数．
图 SEQ 图 \* ARABIC 17
23. （满分9分）如图18，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E
（1）证明点C在圆O上；（2）求tan∠CDE的值；
（3）求圆心O到弦ED的距离．
图 SEQ 图 \* ARABIC 18
24. （满分12分）如图19，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.
发现 AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值m，求m；
思考 点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；
点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积
为________.
探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.
（注：结果保留π，cs 35°=，cs 55°=）
图 SEQ 图 \* ARABIC 19
参考答案：
直线与圆的位置关系测试题
一、选择题
1.（A）
提示：OA=，则OE=2＜OA，点E在⊙O内，OF=2＜OA，点F在⊙O内，OG=1＜OA，点G在⊙O内，OH=＞OA，点H在⊙O外.
2.（B）
提示：旋转180度后仍能与原来图形重合的图形是中心对称图形.
3.（C）
提示：根据垂径定理去一一判定，只有C是没有条件支撑.
4. （B）
提示：
连接OB，因为四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，所以四边形ABCO是菱形.
所以△AOB为等边三角形，因为OF⊥OC，OC∥AB，所以OF⊥AB，
所以∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°.
5.（D）
提示：
圆的内接四边形对角互补，所以对角和所占比数和相等.
6. （D）
提示：所在扇形是扇形AOB，其半径是OA，其圆心角是∠AOB，半径OA=3，旋转角度为90°，所以∠AOB=90°，所以的长为：=1.5π．
7. （B）
提示：
连接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．
8.（B）
提示：计算O到A,B,C,D的距离，OA=OB=OC，根据定义知点O是三角形ABC的外心.
9. （C）
提示：当P,O,A共线时，PA与小圆的有两个交点，远离P的那个交点，PA最大，此时a=6+2=8；
靠近P的交点，PA值最小，此时b=6-2=4,所以a+b=12.
10. （C）
提示：由切线性质，得 ∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，
由=，得∠AOC=∠BOC=50°．由圆周角定理，得∠ADC=∠AOC=25°.
二、填空题
11. 58°
提示：
根据圆周角定理求∠AOC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAC的度数．
12. 4﹣．
13. 75°或15°．
提示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．
14. 90°
提示：连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质，得∠DCB=50°，根据圆周角定理，得
∠DOB=100°，于是50°＜∠BPD＜100°．
15. 2+或2-
提示：分外心在等腰三角形的内部和外部两种情形求解.
16. π
提示：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点D，连接ED、FD．
由∠AOC=90°，知道∠AFP=45°，由EF是⊙O直径，所以∠EAF=90°，
所以∠APF=∠AFP=45°，由圆的内接四边形互补，得∠D=∠APF=45°，
所以∠EGF=90°，因为EF=4，GE=GF，所以三角形EGF是等腰直角三角形，
所以EG=GF=2，所以的长==π．
三、解答题
17.略
18.
解：（1）因为三角形ABC的面积是定值，所以CD=.易证△ADC∽△ACB，
所以AD=，因为⊙是三角形ACD的内切圆，半径为，所以AD-+CD-=AC
所以==；
同理可证， =；
（2）因为=，=，所以=.
19. 证明：
（1）因为∠A=30°，所以∠DCB=30°，因为AB为⊙O的直径，AB⊥弦CD，
所以∠BGC=90°，所以∠OBC=60°，因为AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，
所以∠ABE=90°，所以∠EBC=30°；
（2）因为∠OBC=60°，OB=OC，所以三角形OBC是等边三角形，
所以弧BC的长度为 =π.
20. 解：（1）因为BC=5，AC=6，AB=9，
所以p==10，
所以S===10，
所以△ABC的面积10；
（2）因为S=r（AC+BC+AB），
所以10=r（5+6+9），解得：r=，
所以△ABC的内切圆半径r=．
21.
解
（1）证明：如图连接OD．因为四边形OBEC是平行四边形，
所以OC∥BE，所以∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，
因为OB=OD，所以∠OBD=∠ODB，所以∠DOC=∠AOC，
在△COD和△COA中，,所以△COD≌△COA，
所以∠CAO=∠CDO=90°，所以CF⊥OD，
所以CF是⊙O的切线．
（2）解：因为∠F=30°，∠ODF=90°，
所以∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，因为OD=OB，所以△OBD是等边三角形，
所以∠DBO=60°，因为∠DBO=∠F+∠FDB，
所以∠FDB=∠EDC=30°，因为EC∥OB，
所以∠E=180°﹣∠OBD=120°，所以∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°，
所以EC=ED=BO=DB，因为EB=4，
所以OB=OD═OA=2，
在RT△AOC中，因为∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，
所以AC=OA•tan60°=2，
所以S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2××2×2﹣=2﹣．
22.
解：（1）因为点E是直角三角形ABC斜边AB的中点，∠A=30°，
所以三角形BEC是等边三角形，因为点D是三角形ABC的内心，
连接BD，则DB平分∠ABC，所以直线BD是线段EC的垂直平分线，所以DE=DC；
（2）因为DC平分∠ACB，所以∠BCD=45°，因为∠BCE=60°，所以∠DEC=15°．
23.
解：（1）证明：如图1，连结CO．因为AB=6，BC=8，∠B=90°，
所以AC=10．因为CD=24，AD=26，且，
所以△ACD是直角三角形，∠C=90°．因为AD为⊙O的直径，所以AO=OD=13，
因为OC为Rt△ACD斜边上的中线，所以OC=AD=13，所以点C在圆O上；
（2）解：如图2，延长BC、DE交于点F，因为∠B=90°，DE∥AB，所以∠BFD=90°．
所以∠CDE+∠FCD=90°，因为AD为直径，所以∠ACD=90°，
所以∠ACB+∠FCD=90°，所以∠CDE=∠ACB．
在Rt△ABC中，tan∠ACB==，所以tan∠CDE=tan∠ACB=；
（3）解：如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，因为AD为直径，所以AE⊥ED
所以OG∥AE，GD=GE，所以OG是三角形AED的中位线，所以OG=AE．
因为sin∠CDF=sin∠ACB=,所以CF=CDsin∠CDF=,所以BF=BC+CF=8+=.
易证四边形ABFE是矩形，所以AE=BF=，
所以OG=AE=，即圆心O到弦ED的距离为．
24.
解：
发现：如图1，连接OP,OQ，则三角形POQ是等边三角形，所以∠POQ=60°，
所以∠AOP+∠BOQ=120°，因为二弧是在同圆中，所以m==；
思考：当AB∥PQ时，距离最大，如图2所示，因为三角形POQ是等边三角形，OM⊥PQ，
所以OM==,此时三角形AOP也是等边三角形，所以PA=2；
当点Q与点B重合时，距离最短，PQ是直径，所以PH⊥AB，由三角形POB是等边三角形，
所以PH=, MT⊥OB，所以TH=TB，所以TM是三角形BHP的中位线,所以TM=；
连接MH，三角形HBM是边长为1的等边三角形，所以==，
等边三角形HBM的面积为 =，所以围成的封闭图形的面积为：-.
探究：半圆M与AB相切，分两种情况：
①如图4，半圆M与AO切于点T时，连结PO,MO,TM.
则MT⊥AO，OM⊥PQ，在Rt△POM中，sin∠POM=，
所以∠POM=30°，在Rt△TOM中，TO=，
所以cs∠AOM=，即∠AOM=35°，所以∠POA=35°-30°=5°.
所以弧AP的长=.
②如图5，半圆M与BO切于点S时，连结PO,MO,SM.
根据圆的对称性，同理得弧BQ的长为，由得弧AP的长为.
综上所述，弧AP的长为.
时间:100分钟 满分:120分 姓名:
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图1所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为 （ ）
（A）E、F、G. （B）F、G、H. （C）G、H、E. （D）H、E、F.
图 SEQ 图 \* ARABIC 1
2.下列图形中，不是中心对称图形的是 （ ）
3.如图2，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是 （ ）
（A）AE=BE. （B）=. （C）OE=DE. （D）∠DBC=90°.
图 SEQ 图 \* ARABIC 2
4.如图3，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于 （ ）
（A）12.5°. （B）15°. （C）20°. （D）22.5°
图 SEQ 图 \* ARABIC 3
5.下列条件，四边形ABCD一定有外接圆的是 （ ）
（A）∠A：∠B：∠C：∠D=1：3：3：4.
（B）∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：3：5.
（C）∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：3：5.
（D）∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：3：2.
6.如图4，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为 （ ）
（A）π. （B）6π. （C）3π. （D）1.5π.
图 SEQ 图 \* ARABIC 4
7.如图5，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是 （ ）
（A）25°. （B）40°. （C）50°. （D）65°.
图 SEQ 图 \* ARABIC 5
8.如图6示为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是 （ ）
（A）△ACD的外心. （B）△ABC的外心. （C）△ACD的内心. （D）△ABC的内心.
图 SEQ 图 \* ARABIC 6
9.如图7，已知同心圆O，点P是大圆上一个定点，点A是小圆上的一个动点，连接PA，设PA的最大值为a,最小值为b，若大圆的半径为6，小圆的半径的2，则a+b的值为 （ ）
（A）9. （B）10. （C）12. （D）14.
图 SEQ 图 \* ARABIC 7
10.如图8，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是 （ ）
（A）15°. （B）20°. （C）25°. （D）30°.
图 SEQ 图 \* ARABIC 8
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 如图9，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC= .
图 SEQ 图 \* ARABIC 9
12.如图10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．
图 SEQ 图 \* ARABIC 10
13. ⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，那么∠BAC度数
为 ．
14.如图11，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）．
图 SEQ 图 \* ARABIC 11
15.若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的
面积为 .
16. 如图12，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是 ．
图 SEQ 图 \* ARABIC 12
三、解答题（共66分）
17.（满分5分）有一块三角形废铁板，为节约材料，厂家决定变废为宝，技术革新，可以把它变成一个圆形的炉口，请你帮厂家拿出一个最大利用的方案.
18. （满分8分）如图13，CD是Rt△ABC斜边AB上高，⊙是三角形ACD的内切圆，半径为，⊙是三角形BCD的内切圆，半径为，设三角形ABC的三边长分别为a,b,c.
（1）用a,b,c分别表示，；
（2）计算的值.
图 SEQ 图 \* ARABIC 13
19. （满分8分）如图14,AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，
连接AD、OC、BC，求证：（1）∠EBC=30°；（2）求弧BC的长度.
图 SEQ 图 \* ARABIC 14
20. （满分8分）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式S=，其中a，b，c是三角形的三边长，p=，S是三角形的面积，并给出了证明.
例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：
因为a=3，b=4，c=5
所以p==6
所以S===6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图15，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
图 SEQ 图 \* ARABIC 15
21. （满分8分）如图16，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）
图 SEQ 图 \* ARABIC 16
22. （满分8分）如图17所示，点E是直角三角形ABC斜边AB的中点，点D是三角形ABC的内心，且∠A=30°.
（1）求证：DE=DC；
（2）求∠DEC的度数．
图 SEQ 图 \* ARABIC 17
23. （满分9分）如图18，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E
（1）证明点C在圆O上；（2）求tan∠CDE的值；
（3）求圆心O到弦ED的距离．
图 SEQ 图 \* ARABIC 18
24. （满分12分）如图19，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.
发现 AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值m，求m；
思考 点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；
点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积
为________.
探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.
（注：结果保留π，cs 35°=，cs 55°=）
图 SEQ 图 \* ARABIC 19
参考答案：
直线与圆的位置关系测试题
一、选择题
1.（A）
提示：OA=，则OE=2＜OA，点E在⊙O内，OF=2＜OA，点F在⊙O内，OG=1＜OA，点G在⊙O内，OH=＞OA，点H在⊙O外.
2.（B）
提示：旋转180度后仍能与原来图形重合的图形是中心对称图形.
3.（C）
提示：根据垂径定理去一一判定，只有C是没有条件支撑.
4. （B）
提示：
连接OB，因为四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，所以四边形ABCO是菱形.
所以△AOB为等边三角形，因为OF⊥OC，OC∥AB，所以OF⊥AB，
所以∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°.
5.（D）
提示：
圆的内接四边形对角互补，所以对角和所占比数和相等.
6. （D）
提示：所在扇形是扇形AOB，其半径是OA，其圆心角是∠AOB，半径OA=3，旋转角度为90°，所以∠AOB=90°，所以的长为：=1.5π．
7. （B）
提示：
连接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．
8.（B）
提示：计算O到A,B,C,D的距离，OA=OB=OC，根据定义知点O是三角形ABC的外心.
9. （C）
提示：当P,O,A共线时，PA与小圆的有两个交点，远离P的那个交点，PA最大，此时a=6+2=8；
靠近P的交点，PA值最小，此时b=6-2=4,所以a+b=12.
10. （C）
提示：由切线性质，得 ∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，
由=，得∠AOC=∠BOC=50°．由圆周角定理，得∠ADC=∠AOC=25°.
二、填空题
11. 58°
提示：
根据圆周角定理求∠AOC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAC的度数．
12. 4﹣．
13. 75°或15°．
提示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．
14. 90°
提示：连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质，得∠DCB=50°，根据圆周角定理，得
∠DOB=100°，于是50°＜∠BPD＜100°．
15. 2+或2-
提示：分外心在等腰三角形的内部和外部两种情形求解.
16. π
提示：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点D，连接ED、FD．
由∠AOC=90°，知道∠AFP=45°，由EF是⊙O直径，所以∠EAF=90°，
所以∠APF=∠AFP=45°，由圆的内接四边形互补，得∠D=∠APF=45°，
所以∠EGF=90°，因为EF=4，GE=GF，所以三角形EGF是等腰直角三角形，
所以EG=GF=2，所以的长==π．
三、解答题
17.略
18.
解：（1）因为三角形ABC的面积是定值，所以CD=.易证△ADC∽△ACB，
所以AD=，因为⊙是三角形ACD的内切圆，半径为，所以AD-+CD-=AC
所以==；
同理可证， =；
（2）因为=，=，所以=.
19. 证明：
（1）因为∠A=30°，所以∠DCB=30°，因为AB为⊙O的直径，AB⊥弦CD，
所以∠BGC=90°，所以∠OBC=60°，因为AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，
所以∠ABE=90°，所以∠EBC=30°；
（2）因为∠OBC=60°，OB=OC，所以三角形OBC是等边三角形，
所以弧BC的长度为 =π.
20. 解：（1）因为BC=5，AC=6，AB=9，
所以p==10，
所以S===10，
所以△ABC的面积10；
（2）因为S=r（AC+BC+AB），
所以10=r（5+6+9），解得：r=，
所以△ABC的内切圆半径r=．
21.
解
（1）证明：如图连接OD．因为四边形OBEC是平行四边形，
所以OC∥BE，所以∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，
因为OB=OD，所以∠OBD=∠ODB，所以∠DOC=∠AOC，
在△COD和△COA中，,所以△COD≌△COA，
所以∠CAO=∠CDO=90°，所以CF⊥OD，
所以CF是⊙O的切线．
（2）解：因为∠F=30°，∠ODF=90°，
所以∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，因为OD=OB，所以△OBD是等边三角形，
所以∠DBO=60°，因为∠DBO=∠F+∠FDB，
所以∠FDB=∠EDC=30°，因为EC∥OB，
所以∠E=180°﹣∠OBD=120°，所以∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°，
所以EC=ED=BO=DB，因为EB=4，
所以OB=OD═OA=2，
在RT△AOC中，因为∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，
所以AC=OA•tan60°=2，
所以S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2××2×2﹣=2﹣．
22.
解：（1）因为点E是直角三角形ABC斜边AB的中点，∠A=30°，
所以三角形BEC是等边三角形，因为点D是三角形ABC的内心，
连接BD，则DB平分∠ABC，所以直线BD是线段EC的垂直平分线，所以DE=DC；
（2）因为DC平分∠ACB，所以∠BCD=45°，因为∠BCE=60°，所以∠DEC=15°．
23.
解：（1）证明：如图1，连结CO．因为AB=6，BC=8，∠B=90°，
所以AC=10．因为CD=24，AD=26，且，
所以△ACD是直角三角形，∠C=90°．因为AD为⊙O的直径，所以AO=OD=13，
因为OC为Rt△ACD斜边上的中线，所以OC=AD=13，所以点C在圆O上；
（2）解：如图2，延长BC、DE交于点F，因为∠B=90°，DE∥AB，所以∠BFD=90°．
所以∠CDE+∠FCD=90°，因为AD为直径，所以∠ACD=90°，
所以∠ACB+∠FCD=90°，所以∠CDE=∠ACB．
在Rt△ABC中，tan∠ACB==，所以tan∠CDE=tan∠ACB=；
（3）解：如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，因为AD为直径，所以AE⊥ED
所以OG∥AE，GD=GE，所以OG是三角形AED的中位线，所以OG=AE．
因为sin∠CDF=sin∠ACB=,所以CF=CDsin∠CDF=,所以BF=BC+CF=8+=.
易证四边形ABFE是矩形，所以AE=BF=，
所以OG=AE=，即圆心O到弦ED的距离为．
24.
解：
发现：如图1，连接OP,OQ，则三角形POQ是等边三角形，所以∠POQ=60°，
所以∠AOP+∠BOQ=120°，因为二弧是在同圆中，所以m==；
思考：当AB∥PQ时，距离最大，如图2所示，因为三角形POQ是等边三角形，OM⊥PQ，
所以OM==,此时三角形AOP也是等边三角形，所以PA=2；
当点Q与点B重合时，距离最短，PQ是直径，所以PH⊥AB，由三角形POB是等边三角形，
所以PH=, MT⊥OB，所以TH=TB，所以TM是三角形BHP的中位线,所以TM=；
连接MH，三角形HBM是边长为1的等边三角形，所以==，
等边三角形HBM的面积为 =，所以围成的封闭图形的面积为：-.
探究：半圆M与AB相切，分两种情况：
①如图4，半圆M与AO切于点T时，连结PO,MO,TM.
则MT⊥AO，OM⊥PQ，在Rt△POM中，sin∠POM=，
所以∠POM=30°，在Rt△TOM中，TO=，
所以cs∠AOM=，即∠AOM=35°，所以∠POA=35°-30°=5°.
所以弧AP的长=.
②如图5，半圆M与BO切于点S时，连结PO,MO,SM.
根据圆的对称性，同理得弧BQ的长为，由得弧AP的长为.
综上所述，弧AP的长为.
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