人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试优秀测试题

这是一份人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试优秀测试题，共20页。试卷主要包含了对于二次函数y＝﹣2，抛物线y＝，抛物线y＝ax2+bx+c，若抛物线y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。



一．选择题


1．下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）


A．y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2B．y＝ax2+bx+c


C．s＝2t2+1D．y＝x+


2．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）


A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1


3．已知二次函数?＝??2﹣??﹣2（?≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当?﹣?为整数时，ab的值是（ ）


A．或1B．或1C．或D．或


4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，则抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（ ）


A．（﹣2，8）B．（﹣2，10）C．（﹣2，12）D．（﹣2，14）


5．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）


A．开口向下


B．对称轴是直线 x＝﹣3


C．顶点坐标为（﹣3，0）


D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小


6．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）


A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）


7．关于二次函数y＝﹣x2+6x﹣11的图象与性质，下列结论错误的是（ ）


A．抛物线开口方向向下


B．当x＝3时，函数有最大值﹣2


C．当x＞3时，y随x的增大而减小


D．抛物线可由y＝x2经过平移得到


8．如图，抛物线y＝x2﹣2x+t交x轴于点A（a，0），B（b，0），交y轴于点C，抛物线顶点为D，下列四个结论：


①无论t取何值，CD＝恒成立；


②当t＝0时，△ABD是等腰直角三角形；


③若a＝﹣1，则b＝4；


④抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的结论是（ ）





A．①②④B．②③④C．①②D．①③


9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论：①abc＜0；②点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2；③b2＞（a+c）2；④2a﹣b＜0．正确的结论有（ ）





A．4个B．3个C．2个D．1个


10．若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）


A．有两个大于1的不相等实数根


B．有两个小于1的不相等实数根


C．有一个大于1另一个小于1的实数根


D．没有实数根


11．二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）


A．﹣7＜y＜﹣4B．﹣7＜y≤﹣3C．﹣7≤y＜﹣3D．﹣4＜y≤﹣3


12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．给出下列结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a+b＜0，④1＜a+b+2c＜2，⑤4a+b＜﹣2．其中正确结论的个数是（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


二．填空题


13．抛物线y＝a（x﹣2）2经过点（1，﹣1），则a的值为 ；该抛物线与坐标轴的交点坐标分别为 ， ．


14．二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为 ．


15．将抛物线y＝（x﹣1）2﹣5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是 ．


16．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A（﹣2，5）、B（3，）两点，则关于x的一元二次方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是 ．


17．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值 ．


18．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＜0；③a＝c﹣2；④方程ax2+bx+c＝0的根为﹣1． 其中正确的结论为 ．








三．解答题


19．如图，抛物线y＝ax2+6ax+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，分别连接AC、BC，则有tan∠ABC＝2，∠ACB＝90°，


（1）求抛物线的函数表达式；


（2）设D为抛物线的顶点，点E（m，0）为线段OA上任意一点，过点E作x轴的垂线分别交直线AC及抛物线于点F、点G，当△ADF是锐角三角形时，求m的取值范围．


（3）在（2）的前提下，设FG＝s，求2s+3m的最大值．





20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件．每件盈利120元．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．


（1）若商场每天要盈利2070元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？


（2）这次降价活动中，2070元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值．


21．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．


（1）求这个二次函数的表达式；


（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；


②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．





22．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．


（1）求y与x之间的函数表达式；


（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）





23．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．


（1）求抛物线的解析式．


（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．


（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．








参考答案


一．选择题


1．解：A、y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2是一次函数，不合题意；


B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，不合题意；


C、s＝2t2+1是二次函数，不合题意；


D、y＝x+不是二次函数，不合题意；


故选：C．


2．解：y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），


对称轴是直线x＝﹣＝1，


即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，


即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，


A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），


∵2＜3＜4，


∴y3＞y1＞y2，


故选：A．


3．解：∵二次函数?＝??2﹣??﹣2（?≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），


∴a＞0，﹣＞0，a+b﹣2＝0，


∴a＞0，b＞0，b＝2﹣a，


∴2﹣a＞0，


解得，a＜2，


∴0＜a＜2，


∵a﹣b为整数，


∴a﹣（2﹣a）＝2a﹣2为整数，


∴a＝，b＝或a＝1，b＝1或a＝，b＝，


∴当a＝，b＝时，ab＝，


当a＝1，b＝1时，ab＝1，


当a＝，b＝时，ab＝，


由上可得，ab的值是或1，


故选：A．


4．解：∵抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，


∴（﹣+）＝﹣1，


∴m+n＝﹣5，


∴抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，y），


∴2m﹣4＝4+2（3m+n）+n，


∴4m+3n＝﹣8，


解得m＝7，


∴y＝2m﹣4＝10，


∴在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，10），


故选：B．


5．解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大，


故A、B、C正确，D不正确，


故选：D．


6．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），


∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），


故选：D．


7．解：A、∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口方向向下，故此选项正确，不合题意；


B、∵y＝﹣（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为：（3，﹣2），故当x＝3时，函数有最大值﹣2，故此选项正确，不合题意；


C、当x＞3时，y随x的增大而减小，此选项正确，不合题意；


D、抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣2可由y＝﹣x2经过平移得到，不是由y＝x2经过平移得到，故此选项错误，符合题意．


故选：D．


8．解：①∵y＝x2﹣2x+t＝（x﹣1）2+t﹣1，


∴C（0，t），D（1，t﹣1），


∴CD＝，


故①正确；


②当t＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（0，0）、B（2，0），顶点D（1，﹣1），


∴AD＝BD＝，


∴△ABD是等腰直角三角形，


故②正确；


③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），


∵对称轴x＝1，


∴另一个交点坐标为（3，0），


∴b＝﹣3，


故③错误；


④观察二次函数图象可知：


当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，


则1﹣x1＜x2﹣1


∴y1＜y2．


故④正确．


故选：A．


9．解：∵抛物线开口向上，


∴a＞0，


∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，


∴a、b同号，


∴b＞0，


∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，


∴c＜0，


∴abc＜0，所以①正确；


∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，


而﹣1＜﹣＜0，


∴点（﹣3，y1）到对称轴的距离比点（1，y2）到对称轴的距离大，


∴y1＞y2，所以，②正确；


∵x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，


x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，


∴（a+c）2﹣b2＝（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，


∴b2＞（a+c）2，所以③正确；


∵﹣1＜﹣＜0，


∴﹣2a＜﹣b，


∴2a﹣b＞0，所以④错误．


故选：B．


10．解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），


画出函数的图象如图：





由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，


故选：C．


11．解：∵y＝﹣x2+2x﹣4，


＝﹣（x2﹣2x+4）


＝﹣（x﹣1）2﹣3，


∴二次函数的对称轴为直线x＝1，


∴﹣1＜x＜2时，x＝1取得最大值为﹣3，


x＝﹣1时取得最小值为﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣4＝﹣7，


∴y的取值范围是﹣7＜y≤﹣3．


故选：B．


12．解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，


所以abc＜0，故①错误；


当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，因此②正确；


对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故③正确；


当x＝1时，y＝a+b+c＝2，又c＞1，所以a+b+2c＞3，故④不正确；


当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，又因为a+b+c＝2，即b+c＝2﹣a，所以4a+b+（2﹣a）＜0，也就是3a+b＜﹣2，而a＜0，因此4a+b＜﹣2，⑤正确；


综上所述，正确的结论有：②③⑤，


故选：C．


二．填空题（共6小题）


13．解：将点（1，﹣1）代入抛物线的表达式得：﹣1＝a（1﹣2）2，解得：a＝﹣1，


故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2，


令y＝0，则x＝2，令x＝0，y＝﹣4，


故答案为：﹣1，（2，0），（0，﹣4）．


14．解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，


所以，该二次函数图象的对称轴是x＝1，且在3≤x≤5范围内y随x的增大而增大，


∴当x＝3时，y最小＝（3﹣1）2＝4．


故答案为4．


15．解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是（1，﹣5），将抛物线y＝（x﹣1）2﹣5关于y轴对称，


∴顶点坐标是（﹣1，﹣5），


∴再向右平移3个单位长度后的抛物线的顶点坐标为（2，﹣5）．


故答案为：（2，﹣5）．


16．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A（﹣2，5）、B（3，）两点，


∴方程ax2+bx+c＝mx+n的两个根为x1＝﹣2，x2＝3，


∵a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）可变形为a（x+1）2+b（x+1）+c＝m（x+1）+n，


∴x+1＝﹣2或x+1＝3，


解得，x3＝﹣3，x4＝2，


∴方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是﹣3+2＝﹣1，


故答案为：﹣1．


17．解：由解得或，


∴函数y1＝2x的图象与函数y2＝x2的图象的交点为（0，0）和（2，4），


∵函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．


由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤2，


故答案为：答案不唯一，如：2（0≤m≤2），





18．解：①由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，


∴△＞0，


即b2﹣4ac＞0；


故①正确；


②∵顶点为D（﹣1，2），


∴函数的对称轴为x＝﹣1，


∴当x＝1时，x＝﹣3时的函数值相等，


∴a+b+c＜0，


故②正确；


③将点D（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c，


得到a﹣b+c＝2，


又由函数的对称轴为x＝﹣1，


∴﹣＝﹣1，


∴b＝2a，


∴a﹣2a+c＝2，


∴a＝c﹣2，


故③正确；


④由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根，一个在﹣2与﹣3之间，另一个在0与1之间，


故④不正确；


故答案为①②③．


三．解答题（共5小题）


19．解：（1）∵∠ACB＝90°，


∴∠BCO+∠ACO＝90°，


∠ACO+∠CAO＝90°，


∴∠CAO＝∠BCO，则tan∠CAO＝tan∠BCO＝，





故设OB＝x，则OC＝2x，OA＝4x，则点A、B的坐标分别为（﹣4x，0）、（x，0），


函数的对称轴为x＝﹣＝﹣3，


由中点公式得﹣3＝（﹣4x+x），解得x＝2，


故点A、B、C的坐标分别为（﹣8，0）、（2，0）、（0，4），


将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，


故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+4；





（2）由抛物线的表达式知，顶点D的坐标为（﹣3，），


由点A、C的坐标知，直线AC的表达式为y＝x+4，


∵点E（m，0），则点F（m，m+4），


①当∠ADF为直角时，


过点D作y轴的垂线，交EF于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，


∵∠MDA+∠NDF＝90°，∠MDA+∠MAD＝90°，


∴∠MAD＝∠NDF，


∴tan∠MAD＝tan∠NDF，


即，即，解得m＝﹣；


②当∠DFA为直角时，


同理可得：m＝﹣


∴﹣＜m＜﹣时，△ADF是锐角三角形；





（3）由（2）知，点E（m，0），点F（m，m+4），则点G（m，﹣m2﹣m+4），


则2s+3m＝2（﹣m2﹣m+4﹣m﹣4）+3m＝﹣m2﹣m，


∵＜0，故2s+3m有最大值，


当m＝﹣1时，2s+3m最大值为．


20．解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：


（0.1x+20）（120﹣x）＝2070，


解得：x1＝﹣110（舍去），x2＝30．


答：每件衬衫应降价30元．


（2）这次降价活动中，2070元不是最高日盈利，理由如下：


设盈利为w元，由题意得：


w＝（0.1x+20）（120﹣x）


＝﹣0.1（x+40）2+2560，


∵x≥0，


∴当x＝0时，w取得最大值，此时w＝2400．


即最高盈利是2400元．


21．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，


解得，


∴y＝x2+2x﹣3．





（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b．得，


解得，


∴y＝﹣x﹣3，


∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．


∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），


∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，


∵a＝﹣1＜0，


∴此函数有最大值．


又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，


∴当m＝﹣时，MN有最大值．





②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．





∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，


∴﹣m2﹣3m＝﹣m，


解得m＝﹣3+或0（舍弃）


∴MN＝3﹣2，


∴CQ＝MN＝3﹣2，


∴OQ＝3+1，


∴Q（0，﹣3﹣1）．





如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．





如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，





则有，m2+3m＝﹣m，


解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），


∴MN＝CQ＝3+2，


∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，


∴Q（0，3﹣1）．


综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．


22．解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，


将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，


解得：，


故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；


（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：


w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，


∵﹣2＜0，函数有最大值，


∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，


故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．


23．解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），


∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，


将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，


∴a＝1，


∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；





（2由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，


令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，


∴x＝﹣1或x＝3，


∴B（3，0），A（﹣1，0），


令x＝0，则y＝﹣3，


∴C（0，﹣3），


∴AC＝，


设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，


∵△ACE是等腰三角形，


∴①当AC＝AE时，＝，


∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），


∴E（0，3），


②当AC＝CE时，＝|m+3|，


∴m＝﹣3±，


∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），


③当AE＝CE时，＝|m+3|，


∴m＝﹣，


∴E（0，﹣），


即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；





（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），


∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，


∴点Q的纵坐标为4，


设Q（t，4），


将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，


∴t＝1+2或t＝1﹣2，


∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），


分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，


∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），


∴FB＝PG＝3﹣1＝2，


∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，


即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．