初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试优秀课后练习题

这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试优秀课后练习题，共17页。



一．选择题


1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）


A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm


C．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm


2．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）


A．锐角三角形B．钝角三角形


C．直角三角形D．钝角或直角三角形


3．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（ ）


A．6B．7C．8D．10


4．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（ ）


A．1B．6C．7D．10


5．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）





A．120°B．105°C．60°D．45°


6．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）


A．40°B．45°C．50°D．60°


7．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝（ ）





A．118°B．119°C．120°D．121°





8．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝2∠A，则此三角形（ ）


A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°


C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形


9．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）


A．B．


C．D．


10．一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）





A．75°B．60°C．45°D．40°





二．填空题


11．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为 ．


12．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝ ．





13．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝36°，则∠CAP＝ ．





14．如图所示，∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADE＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F＝ ．





15．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝ 度．








三．解答题


16．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图


（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；


（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：


①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °．


②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．





17．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，


（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；


（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：


①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；


②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；


③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．








18．问题1


现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．


研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是


研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是


研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．


问题2


研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 ．








19．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．


（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．


（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．


（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数＝ ．

















20．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是高，AE是角平分线，


（1）∠BAC＝ ，∠DAC＝ ．（填度数）


（2）求∠EAD的度数．














21．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．


（1）当α＝40°时，∠BPC＝ °，∠BQC＝ °；


（2）当α＝ °时，BM∥CN；


（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；


（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系： ．








参考答案


一．选择题


1．解：A、3+4＜8，不能组成三角形；


B、8+7＝15，不能组成三角形；


C、13+12＞20，能够组成三角形；


D、5+5＜11，不能组成三角形．


故选：C．


2．解：设三个内角分别为2k、3k、4k，


则2k+3k+4k＝180°，


解得k＝20°，


所以，最大的角为4×20°＝80°，


所以，三角形是锐角三角形．


故选：A．


3．解：根据n边形的内角和公式，得


（n﹣2）•180＝1080，


解得n＝8．


∴这个多边形的边数是8．


故选：C．


4．解：∵4﹣3＝1，4+3＝7，


∴1＜x＜7，


∴x的值可能是6．


故选：B．


5．解：如图，∠2＝90°﹣45°＝45°，


由三角形的外角性质得，∠1＝∠2+60°，


＝45°+60°，


＝105°．


故选：B．





6．解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，


∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．


故选：C．


7．解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，


∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，


∵∠A＝60°，


∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，


∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°．


故选：C．


8．解：在△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，


∴∠A+2∠A＝180°，


∴∠A＝60°，


故选：B．


9．解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．


故选：D．


10．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝60°，∠B＝75°，


∴∠C＝45°，


故选：C．





二．填空题（共5小题）


11．解：设多边形的边数是n，


根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°＝360°，


解得n＝6．


故答案为：6．


12．解：给图中角标上序号，如图所示．


∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，


∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，


∴∠1＝∠3＝105°．


故答案为：105°．





13．解：过P点作PF⊥BA于F，PN⊥BD于N，PM⊥AC于M，


设∠PCD＝x°，


∵CP平分∠ACD，


∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，


∵BP平分∠ABC，


∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，


∴PF＝PM，


又∵PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，


∴∠FAP＝∠PAC．


∵∠BPC＝36°，


∴∠ABP＝∠PBC＝（x﹣36）°，


∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣36°）﹣（x°﹣36°）＝72°，


∴∠CAF＝108°，


∴∠FAP＝∠PAC＝54°．


故答案为：54°．





14．解：在△ABC中，∠A＝10°，∠ABC＝90°，


在△AED中，∠FDE是它的一个外角，


∴∠FDE＝∠A+∠AED，


∵∠ADE＝∠EDF、


∴∠ADE＝∠EDF＝90°


∴∠CED＝90°﹣∠A＝80°


∵∠CED＝∠FEG，


∴∠FEG＝80°．


在△AEF中，∠FEG是它的一个外角，


∴∠FEG＝∠A+∠F，


∴∠F＝∠FEG﹣∠A＝80°﹣10°＝70°．


故答案为：70°．


15．解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，


∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，


∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，


即∠ACD＝∠A1+∠ABC，


∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），


∵∠A+∠ABC＝∠ACD，


∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，


∴∠A1＝∠A，


∴∠A1＝m°，


∵∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，


…


以此类推∠A2013＝∠A＝°．


故答案为：．


三．解答题（共6小题）


16．解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：


过点A、D作射线AF，


∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，


∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，


即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；


（2）①如图（2），∵∠X＝90°，


由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，


∵∠A＝40°，


∴∠ABX+∠ACX＝50°，


故答案为：50；


②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，


∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，


∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，


∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，


∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，


∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．





17．解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，


，


根据外角的性质，可得


∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，


又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，


∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；





（2）①由（1），可得


∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，


∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，


∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，


故答案为：50．





②由（1），可得


∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，


∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，


∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，


∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE


＝45°+40°


＝85°；





③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，


∵∠BG1C＝70°，


∴设∠A为x°，


∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°


∴（133﹣x）+x＝70，


∴13.3﹣x+x＝70，


解得x＝63，


即∠A的度数为63°．


18．解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：


由折叠得：∠A＝∠DA′A，


∵∠1＝∠A+∠DA′A，


∴∠1＝2∠A；


故答案为：∠1＝2∠A；


（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：


由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，


∵∠ADB+∠AEC＝360°，


∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，


∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；


故答案为：∠1+∠2＝2∠A；


（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：


∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，


∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，


∵∠A＝∠A′，


∴∠2＝2∠A+∠1，


∴∠2﹣∠1＝2∠A；


（4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，


∵∠DNA+∠BMC＝360°，


∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，


∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，


∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，


故答案为：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．








19．解：（1）∠AEB的大小不变，


∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，


∴∠AOB＝90°，


∴∠OAB+∠OBA＝90°，


∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，


∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，


∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，


∴∠AEB＝135°；





（2）∠CED的大小不变．


延长AD、BC交于点F．


∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，


∴∠AOB＝90°，


∴∠OAB+∠OBA＝90°，


∴∠PAB+∠MBA＝270°，


∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，


∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，


∴∠BAD+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，


∴∠F＝45°，


∴∠FDC+∠FCD＝135°，


∴∠CDA+∠DCB＝225°，


∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，


∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，


∴∠E＝67.5°；





（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，


∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，


∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，


∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，


∴∠EAF＝90°．


在△AEF中，


∵有一个角是另一个角的3倍，故有：


①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，∠ABO＝60°；


②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°；


③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；


④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°．


∴∠ABO为60°或45°．


故答案为：60°或45°．





20．解：（1）∠BAC＝60°，∠DAC＝20°，


在△ABC中∠B＝50°，∠C＝70°，


∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，


∵AD是高，∠C＝70°，


∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°，


故答案为：60°；20°；


（2）∵AE是角平分线，


∴∠EAC＝∠BAC＝30°


又∵AD是高，


∴∠DAC+∠C＝90°，


∠DAC＝90°﹣70°＝20°，


∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝10°．


21．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，


∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，


∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，


∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，


∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，


∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，


∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，


∴∠QBC+∠QCB＝55°，


∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；


（2）∵BM∥CN，


∴∠MBC+∠NCB＝180°，


∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，


∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，


即（180°+α）＝180°，


解得α＝60°；


（3）∵α＝120°，


∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，


∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；


（4）∵α＞60°，


∠BPC＝90°﹣α、


∠BQC＝135°﹣α、


∠BOC＝α﹣45°．


∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．


故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．