高中人教A版 (2019)1.4 充分条件与必要条件学案

这是一份高中人教A版 (2019)1.4 充分条件与必要条件学案，共7页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，例4-1，例4-2，参考答案，自我检测1，自我检测2等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．


2．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.


（预习教材P17~ P22，回答下列问题）


请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？


（1）若，则


（2）若，则


（3）若或，则


【知识点一】 充分条件与必要条件


一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时我们就说，


由p可以推出q，记作 ，并且说，p是q的 ，q是p的 ．


【知识点二】 充要条件


如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ．


此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．


自我检测1：


（1）根据以上充分必要条件的定义，请给出是的什么条件？


①若 ,但，则


②若，但，则


③若，且，则


④若，且，则


（2）在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：


如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；


如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；


如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；


如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件．





（3）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )


A．充分条件 B．必要条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


【知识点三】充分条件、必要条件、充要条件的判断方法


1．定义法：分别判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．


2．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．


3．集合法：利用集合间的包含关系进行判断．


4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．


5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．


自我检测2：


如图1，有一个圆，在其内又含有一个圆，请回答


p：红点在内，q：红点一定在内”中，则p是q的什么条件？














题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断


【例1】指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．


①p：若四边形的两组对角分别相等，q：这个四边形是平行四边形；


②p：a＝b，q：ac＝bc；


③p：x2＝9，q：x＝3；


④p：m

⑤p：x，y为无理数，q：xy为无理数；


⑥p：且，q：且；


⑦p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；


⑧p：，q：或．














题型二 求条件(充分条件、必要条件和充要条件)


【例2】 判断使不等式成立的充分不必要条件是否唯一．


（必要不充分、充要条件呢）














题型三 条件和结论的传递性


【例3】 已知,都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则


（1）是的什么条件？


（2）是的什么条件？


（3）是的什么条件？








题型四 充分条件、必要条件、充要条件的应用


【例4-1】关于的不等式: 的解集为的充要条件是




















【例4-2】已知，，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．


．




















题型五 充要条件的证明


【例5】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．














1．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．


（1）“”是“”的 ；


（2）“四边形对角线相等”是“这个四边形是平行四边形”的 ；


（3）“”是“”的 ；


（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的 ；


（5）“x－3＝0”是“(x－2)(x－3)＝0”的 ；





2．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件





3．设p：x<3，q：－1

A．充分必要条件 B．充分不必要条件


C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件





4． 2x2－5x－3<0的必要不充分条件是( )


A．－eq \f(1,2)

C．－1




5．若是的必要而不充分条件，是的充要条件，是的充分而不必要条件，


那么是的________．














6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是______ _．

















【参考答案】





复习：（1）√（2）×（3）√


【自我检测1】（1）①p是q的充分不必要条件②p是q的必要不充分条件


③p是q的充要条件 ④p是q的既不充分也不必要条件


（2）充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要


（3）B


【自我检测2】充分不必要





【例1】指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．


①p：若四边形的两组对角分别相等，q：这个四边形是平行四边形；必要不充分条件


②p：a＝b，q：ac＝bc；充分不必要条件


③p：x2＝9，q：x＝3；必要不充分条件


④p：m

⑤p：x，y为无理数，q：xy为无理数；必要不充分条件


⑥p：且，q：且；充要条件


⑦p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；充分不必要条件


⑧p：，q：或．充分不必要条件


【例2】 判断使不等式成立的充分不必要条件是否唯一．不唯一


（必要不充分、充要条件呢）


【例3】 已知,都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则


（1）是的什么条件？充要条件


（2）是的什么条件？充要条件


（3）是的什么条件？必要不充分条件











【例4-1】关于的不等式: 的解集为的充要条件是


【例4-2】已知，，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．


【解析】 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,2)或x≥2))))；








由已知p⇒q且qp，得


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥－\f(1,2)，,a<2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－\f(1,2)，,a≤2，))解得eq \f(3,2)≤a<2或eq \f(3,2)

即所求a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))．


【例5】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．


解析：(1)a＝0时，可得x＝－eq \f(1,2)，符合题意．


(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4a>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0；


若方程有两个负的实根，


则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)>0，,－\f(2,a)<0，,Δ＝4－4a≥0，))解得0

综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.


反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．


因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1．






































1．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．


（1）“”是“”的 ；必要不充分条件


（2）“四边形对角线相等”是“这个四边形是平行四边形”的 ；充要条件


（3）“”是“”的 ；充分不必要条件


（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的 ；充分不必要条件


（5）“x－3＝0”是“(x－2)(x－3)＝0”的 ；充分不必要条件


2．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


解析：C


3．设p：x<3，q：－1

A．充分必要条件 B．充分不必要条件


C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件


解析：C


4． 2x2－5x－3<0的必要不充分条件是( )


A．－eq \f(1,2)

C．－1

解析：D


5．若是的必要而不充分条件，是的充要条件，是的充分而不必要条件，


那么是的________．


解析：充分不必要条件．





6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是______ _．


解析：对称轴x＝－eq \f(b,2)≤0，即b≥0．