人教A版 (2019)专题训练：第07章 复数（A卷基础篇）解析版

第七章 复数（基础卷）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．（2020•浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，

可得a﹣2＝0，解得a＝2．

故选：C．

2．（2020•沈阳三模）已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则复数z的虚部为（　　）

A．1 B．2i C．±1 D．2

【解答】解：因为复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，所以，则a＝1，

所以z＝2i，则复数z的虚部为2．

故选：D．

3．（2020春•克东县期中）计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（　　）

A．1 B．i C．﹣i D．1+i

【解答】解：由等比数列的求和公式可得：

1+i+i2+i3+…+i89，

而i90＝（i4）88•i2＝i2＝﹣1，

故1+i+i2+i3+…+i891+i，

故选：D．

4．（2020•北海一模）复数i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵i，

∴复数i在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．

故选：D．

5．（2020•新课标Ⅰ）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（　　）

A．0 B．1 C． D．2

【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，

则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，

故选：D．

6．（2020•新课标Ⅲ）若（1+i）＝1﹣i，则z＝（　　）

A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i

【解答】解：由（1+i）＝1﹣i，得，

∴z＝i．

故选：D．

7．（2020•乐山模拟）已知（5，﹣1），（3，2），对应的复数为z，则（　　）

A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i

【解答】解：∵（5，﹣1），（3，2），

∴（）＝（﹣2，3），对应的复数为z＝﹣2+3i，

则2﹣3i，

故选：D．

8．（2020•辽宁模拟）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（　　）

A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）

【解答】解：复数i．

z在复平面内对应的点在第四象限，∴，解得﹣1＜t＜1．

则实数t的取值范围为（﹣1，1）．

故选：B．

二．多选题（共4小题）

9．（2019秋•琼山区校级期末）已知复数z＝x+yi（x，y∈R），则（　　）

A．z2≥0 B．z的虚部是yi 

C．若z＝1+2i，则x＝1，y＝2 D．

【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R），

∴z2＝（x+yi）＝x2﹣y2+2xyi，不能判断正负，故A错误；

z的虚部是y，故B错误；

若z＝1+2i，则x＝1，y＝2，故C正确；

|z|，故D正确．

故选：CD．

10．（2020春•山东月考）下面是关于复数z的四个命题：其中的真命题为（　　）

A．|z|＝2 B．z2＝2i 

C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣1

【解答】解：∵z1﹣i，

∴A：|z|，

B：z2＝2i，

C：z的共轭复数为﹣1+i，

D：z的虚部为﹣1，

故选：BD．

11．（2020春•肥城市期中）下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（　　）

A．若复数z∈R，则 

B．若复数z满足z2∈R，则z∈R 

C．若复数z满足，则z∈R 

D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则

【解答】解：若复数z∈R，则，故A正确；

若复数z满足z2∈R，则z∈R错误，如z＝i，满足z2∈R，但z∉R；

设z＝a+bi（a，b∈R），由∈R，

得b＝0，则z∈R，正确；

若复数z1，z2满足z1z2∈R，则错误，如z1＝i，z2＝2i．

故选：AC．

12．（2020春•鼓楼区校级期中）若复数z满足（z+2）i＝3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（　　）

A．z的虚部为3 B． 

C．z的共轭复数为2+3i D．z是第三象限的点

【解答】解：∵（z+2）i＝3+4i，

∴z，

虚部为﹣3，，共轭复数为2+3i，是第四象限点．

故选：BC．

三．填空题（共4小题）

13．（2020•北京模拟）复数　　．

【解答】解：||＝|1﹣i|．

故答案为：．

14．（2019秋•密云区期末）复数对应的点在第　四　象限，复数z的实部是　　．

【解答】解：∵，

∴z对应的点的坐标为（，），在第四象限．复数z的实部是．

故答案为：四，．

15．（2020•浦东新区三模）已知x、y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，则x+y＝　2　．

【解答】解：∵（x﹣2）+yi＝﹣1+i，

∴x﹣2＝﹣1且y＝1；

解得x＝1，y＝1，

∴x+y＝2，

故答案为：2．

16．（2020•重庆模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1﹣i，则z的共轭复数为　i　．

【解答】解：由（1+i）z＝1﹣i，得z，

则．

故答案为：i．

四．解答题（共5小题）

17．（2020春•临淄区校级月考）计算：

（1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）；

（2）（2﹣i）﹣（﹣1+5i）+（3+4i）；

（3）（a+bi）﹣（3a﹣4bi）+5i（a，b∈R）．

【解答】解：（1）原式＝1﹣2+2+（3+1﹣3）i＝1+i．

   （2）原式＝（2+1+3）+（﹣1﹣5+4）i＝6﹣2i．

（3）原式＝a﹣3a+（b+4b+5）i＝﹣2a+（5b+5）i．

18．（2020春•西城区校级月考）已知复数z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，复数z是：

（Ⅰ）虚数；

（Ⅱ）纯虚数；

（Ⅲ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．

【解答】解：z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．

（Ⅰ）若z是虚数，则m2﹣3m+2≠0，即m≠1且m≠2；

（Ⅱ）若z是纯虚数；则，解得m；

（Ⅲ）若复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数，

则2m2﹣3m﹣2+m2﹣3m+2＝0，即3m2﹣6m＝0，得m＝0或2．

19．（2020春•南阳期中）已知：复数z＝（1+i）2，其中i为虚数单位．

（1）求z及|z|；

（2）若z2+a，求实数a，b的值．

【解答】解：（1）∵，

∴；

（2）由z2+a，

得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，

即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，

∴，解得．

20．（2020春•大兴区期末）已知复数z＝（m2﹣m）+（m+3）i（m∈R）在复平面内对应点Z．

（Ⅰ）若m＝2，求z；

（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，求m的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵m＝2，∴z＝2+5i，

则；

（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，则m2﹣m＝m+3，

即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或m＝3．

21．（2019秋•临沂期末）已知复数z＝1+mi（m∈R，i为虚数单位），且（1﹣i）z为实数．

（1）求复数z；

（2）设复数z1＝x+yi（x，y∈R）满足，求|z1|的最小值．

【解答】解：（1）由z＝1+mi（m∈R），

得（1﹣i）z＝（1﹣i）（1+mi）＝（1+m）+（m﹣1）i，

∵（1﹣i）z为实数，∴m﹣1＝0，∴m＝1．∴z＝1+i

（2）设z1＝x+yi（x，y∈R），，

∵，

∴|（x+yi）﹣（1﹣i）|＝1，

即|（x﹣1）+（y+1）i|＝1，∴（x﹣1）2+（y+1）2＝1，

即复数z1在复平面内对应的点的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，以1为半径的圆．

∴|z1|的最小值为．