浙教版九年级下册第一章 解直角三角形综合与测试习题

这是一份浙教版九年级下册第一章 解直角三角形综合与测试习题，共10页。试卷主要包含了点M关于x轴对称的点的坐标是，计算等内容，欢迎下载使用。

类型之一 锐角三角函数的概念





图1－X－1


1．如图1－X－1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么csα的值是( )


A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3)


C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)


2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图1－X－2那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是( )


图1－X－2


A.eq \f(24,7) B.eq \f(\r(7),3) C.eq \f(7,24) D.eq \f(1,3)


3．如图1－X－3，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )


A.eq \f(5 \r(5),14) B.eq \f(\r(3),5) C.eq \f(\r(21),7) D.eq \f(\r(21),14)


图1－X－3


图1－X－4


4．如图1－X－4，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为________．


类型之二 特殊角的三角函数值的计算


5．若α的余角是30°，则csα的值是( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)


6．点M(－sin60°，cs60°)关于x轴对称的点的坐标是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))


7．计算：


(1)eq \r(12)＋2－1－4cs30°＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))；











(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\r(3)))＋2sin60°＋(eq \f(1,2))－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2018)＋1))eq \s\up12(0)；














(3)2cs45°－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))eq \s\up12(0)＋eq \r(\f(1,4))＋(eq \f(1,2))－1(n是自然数)．














类型之三 解直角三角形及其应用


8．2017·南宁如图1－X－5，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P之间的距离为( )


A．60 eq \r(3) n mile B．60 eq \r(2) n mile


C．30 eq \r(3) n mile D．30 eq \r(2) n mile


图1－X－5


图1－X－6


9．如图1－X－6，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上的交点C在尺上的读数约为________cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)





图1－X－7


10．如图1－X－7，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，P是OA上的一动点，N(3，0)是OB上的一定点，M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，则点P的坐标为________．


11．2016·舟山太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图1－X－8所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后屋顶面边沿增加部分AD的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73)





图1－X－8

















12．2017·岳阳某太阳能热水器的横截面示意图如图1－X－9所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.


(1)求支架CD的长；


(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)





图1－X－9














13．2017·株洲如图1－X－10，从一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2 eq \r(3)，无人机的飞行高度AH＝500 eq \r(3)米，桥的长度为1255米．


(1)求点H到桥的左端点P的距离；


(2)若从无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度．





图1－X－10














14．2016·杭州如图1－X－11，已知四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连结AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.


(1)求sin∠EAC的值；


(2)求线段AH的长．





图1－X－11




















详解详析





1．D


2．C [解析] 根据题意，BE＝AE.


设CE＝x，则BE＝AE＝8－x，


在Rt△BCE中，根据勾股定理，得


BE2＝BC2＋CE2，即(8－x)2＝62＋x2，


解得x＝eq \f(7,4)，∴tan∠CBE＝eq \f(CE,CB)＝eq \f(\f(7,4),6)＝eq \f(7,24).


故选C.


3．D [解析] 过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.


∵∠BAC＝120°，AB＝4，AC＝2,


∴∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，


∴2AD＝AC＝2，


∴AD＝1，CD＝eq \r(3)，


∴BD＝5，∴BC＝2 eq \r(7)，


∴sinB＝eq \f(\r(3),2 \r(7))＝eq \f(\r(21),14).








4.eq \f(3,5) [解析] 连结PP′，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，


∴CP＝CP′＝6，


∠PCP′＝60°，


∴△CPP′为等边三角形，


∴PP′＝PC＝6.


∵△ABC为等边三角形，


∴CB＝CA，∠ACB＝60°，


∴∠PCB＝∠P′CA，


∴△PCB≌△P′CA(SAS)，


∴PB＝P′A＝10.


∵62＋82＝102，∴PP′2＋AP2＝P′A2，


∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，


∴sin∠PAP′＝eq \f(PP′,P′A)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).


5．A [解析] α＝90°－30°＝60°，csα＝cs60°＝eq \f(1,2).故选A.


6．B [解析] ∵sin60°＝ eq \f(\r(3),2)，cs60°＝ eq \f(1,2)，


∴点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).


∵点P(m，n)关于x轴对称的点为P′(m，－n)，


∴点M关于x轴的对称点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))).故选B.


7．解：(1)原式＝2 eq \r(3)＋eq \f(1,2)－4×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)


＝2 eq \r(3)＋eq \f(1,2)－2 eq \r(3)＋eq \f(1,2)


＝1.


(2)原式＝2－eq \r(3)＋2×eq \f(\r(3),2)＋2－1＝3.


(3)原式＝2×eq \f(\r(2),2)－1＋eq \f(1,2)＋2＝eq \r(2)＋eq \f(3,2).


8．B [解析] 如图，作PE⊥AB于点E.


在Rt△PAE中，∵∠PAE＝45°，PA＝60 n mile，∴PE＝AE＝eq \f(\r(2),2)×60＝30 eq \r(2)(n mile)．


在Rt△PBE中，∵∠B＝30°，


∴PB＝2PE＝60 eq \r(2) n mile.





9．2.7





10．(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2)) [解析] 作点N关于OA的对称点N′，连结MN′交OA于点P，则点P为所求．显然ON＝ON′，∠NON′＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∴△ONN′为等边三角形，MN′⊥ON.∵OM＝eq \f(3,2)，∴PM＝OM·tan30°＝eq \f(3,2)×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(\r(3),2)，∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).


11．解：∵∠BDC＝90°，BC＝10米，sinB＝eq \f(CD,BC)，


∴CD＝BC·sinB≈10×0.59＝5.9(米)．


∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－36°＝54°，


∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝54°－36°＝18°，


∴在Rt△ACD中，tan∠ACD＝eq \f(AD,CD)，


∴AD＝CD·tan∠ACD≈5.9×0.32＝1.888≈1.9(米)，


则改建后屋顶面边沿增加部分AD的长约为1.9米．


12．解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，∴cs30°＝eq \f(CD,80)＝eq \f(\r(3),2)，解得CD＝40 eq \r(3)(cm)．故支架CD的长为40 eq \r(3) cm.


(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，∴tan30°＝eq \f(OC,165)＝eq \f(\r(3),3)，解得OC＝55 eq \r(3)(cm)，


∴OA＝2OC＝110 eq \r(3) cm，OB＝OD＝OC－CD＝55 eq \r(3)－40 eq \r(3)＝15 eq \r(3)(cm)，


∴AB＝OA－OB＝110 eq \r(3)－15 eq \r(3)＝95 eq \r(3)(cm)．


故真空热水管AB的长为95 eq \r(3) cm.


13．解：(1)在Rt△AHP中，


∵∠APH＝α，AH＝500 eq \r(3)米，


∴tan∠APH＝eq \f(AH,HP)＝tanα，


∴eq \f(500 \r(3),HP)＝2 eq \r(3)，


解得HP＝250(米)．


故点H到桥的左端点P的距离为250米．


(2)过点Q作QM⊥AB交其延长线于点M，


则可得AM＝HQ＝HP＋PQ＝250＋1255＝1505(米)，QM＝AH＝500 eq \r(3)米．


∵在Rt△QMB中，∠QMB＝90°，∠QBM＝30°，QM＝500 eq \r(3)米，


∴BM＝1500米，


∴AB＝AM－BM＝1505－1500＝5(米)．


故这架无人机的长度为5米．


14．解：(1)由题意知EC＝2，AE＝eq \r(10).


过点E作EM⊥AC于点M，


所以∠EMC＝90°，易知∠ACD＝45°，


所以△EMC是等腰直角三角形，


所以EM＝eq \r(2)，所以sin∠EAC＝eq \f(EM,AE)＝eq \f(\r(5),5).


(2)在△GDC与△EDA中，


因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DG＝DE，,∠GDC＝∠EDA，,DC＝DA，))


所以△GDC≌△EDA，所以∠GCD＝∠EAD.


又因为∠HEC＝∠DEA，


所以∠EHC＝∠EDA＝90°，所以AH⊥GC.


由△GDC≌△EDA，得GC＝EA＝eq \r(10).


因为S△AGC＝eq \f(1,2)AG·DC＝eq \f(1,2)GC·AH，


所以eq \f(1,2)×4×3＝eq \f(1,2)×eq \r(10)×AH，


所以AH＝eq \f(6,5) eq \r(10).