数学九年级下册第一章 解直角三角形综合与测试当堂达标检测题

这是一份数学九年级下册第一章 解直角三角形综合与测试当堂达标检测题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题4分，共28分)


1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值是( )


A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(4,3)


2．某水坝的坡比为1∶eq \r(3)，坡长为20米，则该水坝的高度为( )


A．10米 B．20米 C．40米 D．20 eq \r(3)米


3．已知关于x的一元二次方程x2－eq \r(2)x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )


A．15° B．30° C．45° D．60°


4．如图1所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，csA＝eq \f(4,5)，则下列结论中正确的有( )


①DE＝3 cm；②EB＝1 cm；③S菱形ABCD＝15 cm2.


A．3个 B．2个


C．1个 D．0个


图1


图2


5．如图2所示，两条宽度都为1的纸条交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( )


A.eq \f(1,sinα) B.eq \f(1,csα) C．sinα D．1


6．如图3，在4×4的正方形网格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是( )


A．2 B.eq \f(2 \r(5),5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),5)


图3


图4


7．如图4，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧优弧CMO上一点，则tan∠OBC的值为( )


A.eq \f(1,3) B．2 eq \r(2) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(2 \r(2),3)


二、填空题(每小题4分，共28分)


8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．


9．在△ABC中，如果锐角∠A，∠B满足|tanA－1|＋(csB－eq \f(1,2))2＝0，那么∠C＝________°.


10．如图5所示，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，sinA＝eq \f(2,3)，弦AB的长为________．


11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq \f(4,3)，BC＝8，则△ABC的面积为________．


图5


图6


12．如图6，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B的俯角为30°，则A，B两点间的距离为________米．


13．如图7，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD＝2 eq \r(2)，那么△ABC的周长为________．


图7


图8


14．如图8，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝3 eq \r(2)，CD＝2 eq \r(2)，P是四边形ABCD四条边上的一个动点，若点P到BD的距离为eq \f(5,2)，则满足条件的点P有________个．


三、解答题(共44分)


15．(10分)如图9，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝200，∠B＝30°，∠C＝45°.求BC的长．





图9

















16．(10分)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm，图10①是一名同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图②的△ABC，已知BC＝30 cm，AC＝22 cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3)





图10























17．(12分)如图11，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象经过点A(2 eq \r(3)，1)，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B(1，a)，射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D.


(1)求k的值；


(2)求tan∠DAC的值及直线AC的函数表达式．





图11











18．(12分)如图12，一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里的B处，它沿着北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发沿直线航行20分钟到达C处，求救援船的航行速度．(参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，eq \r(3)≈1.732，结果精确到1海里/时)





图12




















1．C [解析] 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∴csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,5).故选C.








2．A [解析] 如图，∵坡比为1∶eq \r(3)，∴设AC＝x米，BC＝eq \r(3)x米，根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即x2＋(eq \r(3)x)2＝202，解得x＝10.故选A.


3．B [解析] 由题意得Δ＝2－4sinα＝0，解得sinα＝eq \f(1,2)，∴α＝30°.


4．A [解析] ∵菱形ABCD的周长为20 cm，∴边长AD＝AB＝5 cm. 在Rt△ADE中，csA＝eq \f(AE,AD)，∴AE＝ADcsA＝5×eq \f(4,5)＝4(cm)，∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)，DE＝eq \r(AD2－AE2)＝eq \r(52－42)＝3(cm)，∴S菱形ABCD＝DE·AB＝3×5＝15(cm2)．故正确的结论有①②③，选择A.


5．A


6．D [解析] 设每个小正方形的边长都是1.由图可知，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴cs∠ABC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(\r(5),5).


7．C [解析] 作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，


则OD＝eq \r(CD2－OC2)＝4 eq \r(2)，tan∠CDO＝eq \f(OC,OD)＝eq \f(\r(2),4)，


由圆周角定理，得∠OBC＝∠CDO，


则tan∠OBC＝eq \f(\r(2),4).





8.eq \f(3,4) 9.75


10.eq \f(4,3) eq \r(5) [解析] 过点O作OC⊥AB于点C，在Rt△AOC中，OC＝OAsinA＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，AC＝eq \r(OA2－OC2)＝eq \r(22－（\f(4,3)）2)＝eq \r(4－\f(16,9))＝eq \r(\f(36－16,9))＝eq \f(2,3) eq \r(5).∴AB＝2AC＝2×eq \f(2,3) eq \r(5)＝eq \f(4,3) eq \r(5).


11．24 [解析] 如图，BC＝8，tanA＝eq \f(4,3)，tanA＝eq \f(BC,AC)，∴eq \f(8,AC)＝eq \f(4,3)，∴AC＝6，


∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)×6×8＝24.





12．750 eq \r(2)


13．6＋2 eq \r(3) [解析] 依题意，得∠B1AD＝45°，AD＝2 eq \r(2)，∴AB＝AB1＝AD·cs45°＝2 eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.又∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∴BC＝eq \r(AC2－AB2)＝eq \r(42－22)＝2 eq \r(3)，


∴△ABC的周长＝2＋4＋2 eq \r(3)＝6＋2 eq \r(3).





14．2 [解析] 过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F.


∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝3 eq \r(2)，CD＝2 eq \r(2)，


∴∠ABD＝∠ADB＝45°，


∴∠CDF＝90°－∠ADB＝45°.


∵sin∠ABD＝eq \f(AE,AB)，


∴AE＝AB·sin∠ABD＝3 eq \r(2)·sin45°＝3＞eq \f(5,2)，CF＝2＜eq \f(5,2)，


∴在AB和AD边上有符合点P到BD的距离为eq \f(5,2)的点各有1个，共有2个．


15．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.


在Rt△ABD中，


∵AD＝200，∠B＝30°，∠ADB＝90°，


∴BD＝eq \r(3)AD＝200 eq \r(3).


在Rt△ADC中，


∵∠C＝45°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD＝200，


∴BC＝BD＋DC＝200 eq \r(3)＋200.





16．解：该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．


理由：如图，过点B作BD⊥AC于点D.


在Rt△BDC中，


BD＝BCsin53°≈30×0.8＝24(cm)，


CD＝BCcs53°≈30×0.6＝18(cm)，


故AD＝AC－CD≈4 cm.


在Rt△ABD中，


AB＝eq \r(AD2＋BD2)≈eq \r(592) cm＜30 cm，


∴该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．


17．解：(1)k＝2 eq \r(3)×1＝2 eq \r(3).


(2)过点B作BH⊥AD于点H，如图，





把B(1，a)代入反比例函数表达式y＝eq \f(2 \r(3),x)，得a＝2 eq \r(3)，


∴B点坐标为(1，2 eq \r(3))，


∴AH＝2 eq \r(3)－1，BH＝2 eq \r(3)－1，


∴△ABH为等腰直角三角形，


∴∠BAH＝45°.


∵∠BAC＝75°，


∴∠DAC＝∠BAC－∠BAH＝30°，


∴tan∠DAC＝tan30°＝eq \f(\r(3),3).


∵AD⊥y轴，∴OD＝1，AD＝2 eq \r(3).


∵tan∠DAC＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(\r(3),3)，


∴CD＝2，∴OC＝1，∴C点坐标为(0，－1)．


设直线AC的函数表达式为y＝mx＋b，


把A(2 eq \r(3)，1)，C(0，－1)代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2 \r(3)m＋b＝1，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(\r(3),3)，,b＝－1，))


∴直线AC的函数表达式为y＝eq \f(\r(3),3)x－1.





18．解：作辅助线如图所示，BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF.


由题意知∠FAB＝60°，∠CBE＝37°，


∴∠BAD＝30°.


∵AB＝20海里，∴BD＝10海里．


在Rt△ABD中，AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(202－102)＝10 eq \r(3)≈17.32(海里)．


在Rt△BCE中，sin37°＝eq \f(CE,BC)，


∴CE＝BC·sin37°≈10×0.6＝6(海里)．


∵cs37°＝eq \f(EB,BC)，


∴EB＝BC·cs37°≈10×0.8＝8(海里)．


∵EF＝AD≈17.32海里，∴FC＝EF－CE≈11.32海里，AF＝ED＝EB＋BD≈18海里．


在Rt△AFC中，AC＝eq \r(AF2＋FC2)≈eq \r(182＋11.322)≈21.26(海里)．


∵20分钟＝eq \f(1,3)小时，


∴21.26÷eq \f(1,3)＝21.26×3≈64(海里/时)．


答：救援船的航行速度约是64海里/时．